[论文解读] Minimal modified energy control for fractional linear control systems with the Caputo derivative

Dorota Mozyrska, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用 40

一句话总结

本论文为具有Caputo导数的分数阶线性控制系统提出了一种最小修改能量控制律，利用修改后的能观 Gramian 矩阵推导出最优导引控制。关键贡献是给出了最小能量控制的显式公式，该公式最小化泛函 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt，当 α→1 时退化为经典结果。

ABSTRACT

Fractional control systems with the Caputo derivative are considered. The modified controllability Gramian and the minimum energy optimal control problem are investigated. Construction of minimizing steering controls for the modified energy functional are proposed.

研究动机与目标

• 解决具有Caputo导数的分数阶线性控制系统的最小能量最优控制问题。
• 提出一种修改后的能量泛函，以消除在 t=T 处的奇异性，从而确保优化问题的适定性。
• 推导出从任意初始状态到期望终态的最优控制律的显式公式。
• 建立系统可控制的条件，并阐明该条件与修改后 Gramian 矩阵 QT 非奇异性的关系。
• 将经典线性二次型控制结果推广至分数阶设置，其中 α∈(0,1]

提出的方法

• 引入修改后的能量泛函 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt，以处理 Caputo 导数在 t=T 处的奇异性。
• 通过 α-指数矩阵函数 eα^At = t^(α−1)Eα,α(At^α) 定义修改后的能观 Gramian 矩阵 QT。
• 通过在修改后的能量泛函上应用变分法，推导出最优控制 u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a)。
• 利用分数阶积分与导数的分部积分公式（命题 2.2 和 2.5），建立 Riemann–Liouville 导数与 Caputo 导数之间的关系。
• 构造一种基于 Riemann–Liouville 阶数为 α 的导数的替代控制律，表达为 û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t)，其中 ψ(t) = g(t)(b − S₀(T)a)φ(t)。
• 采用矩阵恒等式 [A|B]K = I 确保可控制性，并从秩条件 rank[A|B] = n 推导出控制律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有Caputo导数的分数阶系统重新表述最小能量控制问题，以在 t=T 处存在奇异性的情况下仍保持适定性？
• RQ2 最小化修改后能量泛函 ∫₀ᵀ|(T−t)^(α−1)u(t)|²dt 的最优控制律的显式形式是什么？
• RQ3 在何种条件下系统是可控制的，这与修改后 Gramian 矩阵 QT 的非奇异性有何关系？
• RQ4 最优控制能否直接用系统矩阵 A 和 B 表示，而无需对 QT 求逆？
• RQ5 当分数阶阶数 α 趋近于 1 时，结果如何退化为经典线性控制理论？

主要发现

• 最小化修改后能量泛函的最优控制为 u̅(t) = B^T S(T−t)^T Q_T^(-1) (b − S₀(T)a)，其中 S(t) = t^(α−1)/Γ(α) 且 S₀(t) = 1。
• 修改后的 Gramian 矩阵 QT 定义为 QT = ∫₀ᵀ S(T−t) B B^T S(T−t)^T dt，其非奇异性等价于系统的可控制性。
• 当 α→1 时，最优控制退化为经典 LQR 解：u̅(t) = B^T e^{A^T(T−t)} (b − e^{AT}a)。
• 最小修改后能量值为 m = ||Q_T^(-1/2)(b − S₀(T)a)||²，标量情形下显式计算为 m = Γ²(α)(b−a)²/T。
• 通过 Riemann–Liouville 导数推导出一种替代控制律 û(t) = K₁ψ(t) + K₂D^α_0+ψ(t) + ⋯ + K_n R^{α,n−1}_{0+}ψ(t)，在秩条件 rank[A|B] = n 下成立。
• 控制 û(t) 能够成功地在时间 T 将状态从 a 转移到 b，且在修改后的能量泛函下实现能量最小化。