[论文解读] Minimal rays on surfaces of genus greater than one

Jan Philipp Schröder|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了在亏格大于一的闭可定向曲面上的Finsler度量下的极小测地线与射线，利用弱KAM理论证明：对于几乎所有渐近方向ξ ∈ S¹，其边界极小测地线在万有覆盖（即Poincaré圆盘）中构成一个叶状结构；并且对于几乎所有测地线类型，恰好存在一条极小测地线。结果表明，Busemann函数在常数意义下唯一，并证实了不稳定极小测地线的存在。

ABSTRACT

For Finsler metrics (no reversibility assumed) on closed orientable surfaces of genus greater than one, we study the dynamics of minimal rays and minimal geodesics in the universal cover. We prove in particular, that for almost all asymptotic directions the minimal rays with these directions laminate the universal cover and that the Busemann functions with these directions are unique up to adding constants. Moreover, using a kind of weak KAM theory, we show that for almost all types of minimal geodesics in the sense of Morse, there is precisely one minimal geodesic of this type.

研究动机与目标

• 理解在一般Finsler度量下，亏格>1曲面的万有覆盖中极小射线与测地线的全局结构。
• 通过分析不被提升变换固定的渐近方向，拓展Morse早期关于极小测地线的结果。
• 利用弱KAM理论，证明几乎所有方向下极小测地线与Busemann函数的唯一性。
• 通过Finsler几何背景下Aubry集与Mather集的视角，刻画极小测地线的动力学行为。

提出的方法

• 利用弱KAM理论分析万有覆盖（被识别为Poincaré圆盘）中极小射线与测地线的结构。
• 应用弱KAM解及其校准曲线的概念，研究极小测地线的渐近行为。
• 采用前向与后向校准曲线的概念，识别叶状结构中的极值测地线。
• 利用弱KAM解沿渐近方向的收敛性，证明其连续性与唯一性性质。
• 利用提升变换群Γ的作用，将万有覆盖中的动力学与底流形M的动力学联系起来。
• 在弱KAM解空间上运用紧致性与连续性论证，推导出极限行为与交点性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些渐近方向ξ ∈ S¹，以ξ为端点的射线的边界极小测地线在万有覆盖中构成叶状结构？
• RQ2 几乎所有渐近方向ξ对应的Busemann函数是否在加法常数意义下唯一确定？
• RQ3 每类极小测地线（按Morse意义）在万有覆盖中是否恰好存在一个代表？
• RQ4 Aubry集与Mather集在Finsler几何背景下如何与极小测地线的动力学相关联？
• RQ5 能否通过弱KAM解的校准图来刻画测地流的非游荡集？

主要发现

• 对所有除可数多个ξ ∈ S¹外，以ξ为端点的射线的边界测地线并集在万有覆盖中构成叶状结构，即任意两条曲线不横截相交。
• 对几乎所有γ ∈ ℳ（勒贝格测度意义下），集合ℳ(γ)（即端点为γ(±∞)的极小测地线）恰好包含一条测地线。
• 几乎所有渐近方向ξ对应的Busemann函数在加法常数意义下唯一，表明其渐近几何具有强刚性。
• 几乎所有γ对应的ℳ(γ)中唯一极小测地线既是前向也是后向不稳定的，如本文所定义。
• 底流形上测地流的非游荡集包含于所有ξ ∈ S¹与i ∈ {0,1}的弱KAM解u₊ⁱ(ξ)的校准图在投影下的像的并集中。
• 弱KAM解u₊ⁱ(ξ)的校准曲线恰好对应于γ ∈ ℳ₊(ξ)的边界测地线cᵠⁱ(γ)，建立了弱KAM理论与极小测地线几何结构之间的深层联系。