[论文解读] Minimal representations: spherical vectors and automorphic functionals

David Kazhdan, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Sep 24, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 21

一句话总结

本文针对局部非阿赋马德域上型为 $D_k$ 或 $E_k$ 的单连通单分裂李群的最小表示，利用赫克算子、有限傅里叶变换以及 $D_4$ 情形下通过二次锥面的实现，给出了球形向量的显式公式。此外，本文还描述了相应阿代尔群的最小表示上的自守泛函，建立了局部球形向量与全局自守形式之间的联系。

ABSTRACT

In the first part of this paper we study minimal representations of simply connected simple split groups of type $D_k$ or $E_k$ over local non-archimedian fields. Our main result is an explicit formula for the spherical vectors in these representations. In the case of real and complex groups such a formula was obtained recently in hep-th/0107222. We also use our techniques to study the structure of the space of smooth vectors in the minimal representation recovering some results of Magaard and Savin. In the second part we consider groups as above defined over a global field. In this situation we describe the form of the automorphic functional on the minimal representation of the corresponding adelic group.

研究动机与目标

• 计算局部非阿赋马德域上型为 $D_k$ 和 $E_k$ 的分裂李群的最小表示中球形向量的显式公式。
• 分析最小表示中光滑向量空间的结构，特别是其关于紧支集函数子空间的商空间结构。
• 利用球形向量公式，描述阿代尔群 $G(\mathbb{A})$ 的最小表示上的自守泛函形式。
• 建立涉及雅可比函子与三次型梯度图上线丛的几何与表示论框架。
• 将阿代尔情形下的结果从阿代尔情形推广至非阿代尔设定，特别是针对 $D_4$ 及更高阶的 $D_k$、$E_k$ 型。

提出的方法

• 对于 $D_4$，通过在二次锥面上的表示实现，利用文献 [2] 的结果识别球形向量。
• 对于 $D_k$ 和 $E_k$（$k \geq 4$），利用萨文 [13] 和卢斯蒂格 [10] 的结果，分析赫克算子在伊瓦霍里不变向量上的作用，从而在常数因子意义下确定球形向量。
• 通过涉及有限傅里叶变换的直接计算，确定未知常数。
• 对 $f \in R$，定义渐近泛函 $\overline{f}(x_0,\dots,x_n) = \lim_{y\to 0} \psi(\frac{I_G(x_1,\dots,x_n)}{x_0 y}) f(y,x_0,x)$，并证明其可唯一延拓为定义在 $C$ 上的局部常值截面，其中 $C$ 是 $I_G/x_0$ 的梯度图。
• 证明此类截面的空间与雅可比函子 $J(R)$ 一致，后者同构于一维表示与李代数子群 $L(F)$ 的最小表示中的光滑向量的直和，且该直和被一个特征扭量化。
• 利用球形向量公式，通过分析不同除子类型的贡献并应用 zeta 函数恒等式，推导出阿代尔群 $G(\mathbb{A})$ 上的自守泛函，特别针对 $\mathbb{F}_q$ 上的椭圆曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部非阿赋马德域上，型为 $D_k$ 或 $E_k$ 的分裂李群的最小表示中，球形向量的显式公式是什么？
• RQ2 最小表示中光滑向量空间的结构如何，特别是其关于紧支集函数子空间的商空间结构？
• RQ3 对于全局域，阿代尔群 $G(\mathbb{A})$ 的最小表示上的自守泛函具有何种形式？
• RQ4 最小表示中函数的渐近行为如何与雅可比函子及李代数子群的表示理论相关联？
• RQ5 自守泛函能否用 zeta 函数和有限域上曲线的点计数表示，特别是针对椭圆曲线？

主要发现

• 对于局部非阿赋马德域上型为 $D_k$ 和 $E_k$ 的群，球形向量通过赫克算子与有限傅里叶变换显式计算得出，其形式在常数因子意义下确定，该常数通过直接计算得以解决。
• 对于 $D_4$，通过在二次锥面上的实现以及一种傅里叶型互换算子，识别出球形向量，该方法可推广至更高阶的 $D_k$。
• 对所有 $f \in R$，极限 $\overline{f}(x_0,\dots,x_n) = \lim_{y\to 0} \psi(\frac{I_G(x_1,\dots,x_n)}{x_0 y}) f(y,x_0,x)$ 存在，并可唯一延拓为定义在 $C$ 上的局部常值截面，其中 $C$ 是 $I_G/x_0$ 的梯度图。
• 此类截面空间 $\operatorname{res}(f)$ 与雅可比函子 $J(R)$ 一致，后者同构于一维表示与李代数子群 $L(F)$ 的最小表示中光滑向量的直和，且该直和被一个特征扭量化。
• 对于 $\mathbb{F}_q$ 上的椭圆曲线 $X$，自守泛函系数为 $\alpha_1(f_0) = 1 + \frac{q^s N}{(q^{s+1}-1)(q^s-1)}$ 与 $\alpha_2(f_0) = q^{2s+1} + 1 + \frac{q(q^{4s+2}-1)(q^s+1)}{q^{s+2}-1} - \frac{(q^{2s+1}+1)N}{(q^{s+2}-1)(q^s-1)}$，其中 $N$ 为 $\mathbb{F}_q$-点的数量。
• 对于任意曲线，猜想公式 $\alpha_1(f_0) = q^{(2g-2)(s+1)} L(X, q^s)$ 成立，其中 $L(X,t)$ 为曲线 $X$ 的 $L$-函数。