[论文解读] Minimal spectral representations of infinitely divisible and max-infinitely divisible processes

Zakhar Kabluchko, Stilian Stoev|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文为求和与极大值无穷可分过程的谱表示引入了极小性概念，证明了在博雷尔空间上极小谱表示的存在性与唯一性。研究建立表明，具有平稳性与随机连续性的此类过程可由σ有限博雷尔测度空间上的唯一保测度流生成，从而实现统一分类框架，并导出新型模型，如彭罗斯型及基于泊松线过程的随机场。

ABSTRACT

Introduced is the notion of minimality for spectral representations of sum- and max-infinitely divisible processes and it is shown that the minimal spectral representation on a Borel space exists and is unique. This fact is used to show that a stationary, stochastically continuous, sum- or max-i.d. random process on $\mathbb{R}^d$ can be generated by a measure-preserving flow on a $\sigma$-finite Borel measure space and that this flow is unique. This development makes it possible to extend the classification program of Rosinski (Ann. Probab. 23 (1995) 1163-1187) with a unified treatment of both sum- and max-infinitely divisible processes. As a particular case, a characterization of stationary, stochastically continuous, union-infinitely divisible random measurable subsets of $\mathbb{R}^d$ is obtained. Introduced and classified are several new max-i.d. random field models including fields of Penrose type and fields associated to Poisson line processes.

研究动机与目标

• 为求和与极大值无穷可分过程的谱表示定义并确立极小性的概念。
• 证明在博雷尔空间上，这些过程的极小谱表示的存在性与唯一性。
• 证明在ℝᵈ上，平稳且随机连续的求和或极大值无穷可分过程可由σ有限博雷尔测度空间上的唯一保测度流生成。
• 在统一理论框架下，统一求和与极大值无穷可分过程的分类，扩展罗辛斯基（Rosinski）的研究计划，涵盖两种框架。

提出的方法

• 在博雷尔测度空间上，为无穷可分过程的谱表示引入极小性概念。
• 运用测度论工具构造极小谱表示，并通过底层测度空间的结构性质证明其唯一性。
• 应用保测度动力系统理论，将平稳且随机连续的过程表示为σ有限博雷尔测度空间上的流。
• 建立此类过程与保测度流之间的对应关系，证明当谱表示为极小时，该流是唯一的。
• 将罗辛斯基（1995）的分类计划扩展至同时涵盖求和与极大值无穷可分过程的统一框架。
• 通过极小谱表示，构建新型极大值无穷可分随机场模型，包括彭罗斯型场及源自泊松线过程的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为求和与极大值无穷可分过程定义极小谱表示，且其是否唯一？
• RQ2 在何种条件下，ℝᵈ上的平稳且随机连续的求和或极大值无穷可分过程可表示为σ有限博雷尔测度空间上的保测度流？
• RQ3 如何在单一理论框架下统一求和与极大值无穷可分过程的分类？
• RQ4 如何利用极小谱表示构造新的极大值无穷可分随机场类别？
• RQ5 极小谱表示在刻画ℝᵈ上联合无穷可分随机可测子集的特征中起何种作用？

主要发现

• 在博雷尔空间上，求和与极大值无穷可分过程的极小谱表示存在且唯一。
• 每个在ℝᵈ上平稳且随机连续的求和或极大值无穷可分过程，均可由σ有限博雷尔测度空间上的唯一保测度流生成。
• 为求和与极大值无穷可分过程建立了统一的分类框架，扩展了罗辛斯基的研究工作。
• 获得了对ℝᵈ上平稳且随机连续的联合无穷可分随机可测子集的刻画。
• 引入了新型极大值无穷可分随机场模型，包括彭罗斯型模型及与泊松线过程相关的模型。
• 极小谱表示使得此前未探索的、具有几何与空间依赖结构的极大值无穷可分随机场模型的构建与分类成为可能。