[论文解读] Minimal surfaces and harmonic diffeomorphisms from the complex plane onto a Hadamard surface

José A. Gálvez, Harold Rosenberg|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 9

一句话总结

本论文通过证明在 Hadamard 曲面 𝕄×ℝ 上理想测地多边形区域上的极小图的 Jenkins-Serrin 型定理，并构造一个具有共形类型 ℂ 的整个极小图，从而从复平面 ℂ 构造出到任意曲率上界为负常数的 Hadamard 曲面 𝕄 的调和微分同胚。关键结果是此类调和微分同胚的存在性，解决了 R. Schoen 的一个猜想，并将早期在双曲空间中的结果推广到一般的负曲率 Hadamard 曲面。

ABSTRACT

We construct harmonic diffeomorphisms from the complex plane $C$ onto any Hadamard surface $M$ whose curvature is bounded above by a negative constant. For that, we prove a Jenkins-Serrin type theorem for minimal graphs in $M imes R$ over domains of $M$ bounded by ideal geodesic polygons and show the existence of a sequence of minimal graphs over polygonal domains converging to an entire minimal graph in $M imes R$ with the conformal structure of $C$.

研究动机与目标

• 为解决 R. Schoen 关于从 ℂ 到曲率 ≤ a < 0 的 Hadamard 曲面的调和微分同胚存在性的猜想。
• 将 Jenkins-Serrin 定理推广到曲率 ≤ a < 0 的 Hadamard 曲面 𝕄 上、以理想测地多边形为边界的 𝕄×ℝ 上的极小图。
• 证明在 𝕄×ℝ 中存在一个整个极小图，其共形结构等价于 ℂ。
• 建立该极小图的垂直投影为从 ℂ 到 𝕄 的调和微分同胚。
• 证明在递增多边形区域上逼近序列的收敛过程中，极小图的共形类型保持不变。

提出的方法

• 证明在 𝕄×ℝ 上理想测地多边形区域上极小图的 Jenkins-Serrin 型存在性定理，其中 𝕄 是曲率 ≤ a < 0 的 Hadamard 曲面。
• 在 𝕄 中构造一列随多边形区域 D_n 扩张的极小图，其边界数据在无穷远处收敛到一个预设函数。
• 利用 u_n(p) 在 𝕄 的紧子集上收敛到极限函数 u，确保在环形区域 K_{i+1} ∓ int(K_i) 上具有一致的 C² 收敛。
• 应用 Grötzsch 引理，证明每个环形区域上极小图的共形模至少为 1，从而推出整个图具有共形类型 ℂ。
• 通过在 𝕄(∞)×ℝ 中指定渐近边界，求解 𝕄 上单位圆盘的无穷远处 Dirichlet 问题，构造从单位圆盘到 𝕄 的调和微分同胚。
• 利用 Busemann 函数和水平面定义 𝕄 的渐近几何，并运用最大值原理控制极小图的收敛性与边界行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在从复平面 ℂ 到任意曲率上界为负常数的 Hadamard 曲面 𝕄 的调和微分同胚？
• RQ2 当 𝕄 的曲率 ≤ a < 0 时，能否在 𝕄×ℝ 上以理想测地多边形为边界的区域上建立 Jenkins-Serrin 型定理于极小图？
• RQ3 在 𝕄×ℝ 中是否存在一个整个极小图，其共形结构等价于 ℂ？
• RQ4 能否将 𝕄×ℝ 中极小图的渐近边界指定为 𝕄(∞)×ℝ 中的连续垂直图？
• RQ5 在递增多边形区域上构造的极小图的极限下，整个极小图在 𝕄×ℝ 中的共形类型是什么？

主要发现

• 在曲率 ≤ a < 0 的 Hadamard 曲面 𝕄 上，建立了在理想测地多边形区域上的极小图的 Jenkins-Serrin 型定理。
• 在 𝕄×ℝ 中存在一个整个极小图，其共形结构等价于复平面 ℂ。
• 该整个极小图的垂直投影给出了从 ℂ 到 𝕄 的调和微分同胚。
• 该极小图的渐近边界可被指定为 𝕄(∞)×ℝ 中的连续垂直图，且此类图存在且唯一。
• 通过将 Grötzsch 引理应用于每个共形模至少为 1 的环形区域，证明了极小图的共形类型为 ℂ。
• 整个极小图上的高度函数是调和且有界的，这意味着当将其视为从单位圆盘出发的映射时，其共形结构等价于单位圆盘。