[论文解读] Minimal surfaces in contact Sub-Riemannian manifolds

Nataliya Shcherbakova|ArXiv.org|Apr 23, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过将极小曲面条件表述为限制在曲面上的水平面积形式的外导数为零，提出了在共秩1接触子黎曼流形中极小曲面的坐标无关、内在定义。该研究证明此类曲面是扩展空间 $M \times S^1$ 中一个常微分方程组的积分流形，并证明在 $(2,3)$-接触情形下，特征点的分类以及特征曲线为测地线的条件可从海森堡群推广至所有一般接触结构。

ABSTRACT

In the present paper we consider generic Sub-Riemannian structures on the co-rank 1 non-holonomic vector distributions and introduce the associated canonical volume and ''horizontal'' area forms. As in the classical case, the Sub-Riemannian minimal surfaces can be defined as the critical points of the '`horizontal'' area functional. We derive an intrinsic equation for minimal surfaces associated to a generic Sub-Riemannian structure of co-rank 1 in terms of the canonical volume form and the ``horizontal'' normal. The presented construction permits to describe the Sub-Riemannian minimal surfaces in a generic Sub-Riemannian manifold and can be easily generalized to the case of non-holonomic vector distributions of greater co-rank. The case of contact vector distributions, in particular the $(2,3)$-case, is studied more in detail. In the latter case the geometry of the Sub-Riemannian minimal surfaces is determined by the structure of their characteristic points (i.e., the points where the hyper-surface touches the horizontal distribution) and characteristic curves. It turns out that the known classification of the characteristic points of the Sub-Riemannian minimal surfaces in the Heisenberg group $H^1$ holds true for the minimal surfaces associated to a generic contact $(2,3)$ distribution. Moreover, we show that in the $(2,3)$ case the Sub-Riemannian minimal surfaces are the integral surfaces of a certain system of ODE in the extended state space. In some particular cases the Cauchy problem for this system can be solved explicitly. We illustrate our results considering Sub-Riemannian minimal surfaces in the Heisenberg group and the group of roto-translations.

研究动机与目标

• 通过规范体积形式与水平面积形式，为共秩1子黎曼流形中的极小曲面提供一种坐标无关、内在的定义。
• 推导出适用于一般子黎曼结构的、以规范体积形式与水平法向量表示的极小曲面内在方程。
• 将海森堡群中特征点分类的结果推广至所有一般 $(2,3)$-接触子黎曼结构。
• 证明子黎曼极小曲面是扩展空间 $M \times S^1$ 中一个常微分方程组的积分曲面。
• 刻画特征曲线与子黎曼测地线重合的条件，明确结构性常数的必要与充分条件。

提出的方法

• 利用水平分布 $\Delta$ 上的正交标架，在共秩1子黎曼流形上定义规范体积形式 $\mu$ 与水平面积形式 $i_\nu \mu$。
• 将子黎曼法向量 $\nu$ 定义为使单位水平向量场 $X$ 的 $i_X \mu$ 积分最大的单位向量场。
• 将极小曲面条件表述为 $(d \circ i_\nu \mu)|_W = 0$，即在曲面 $W$ 上的内在偏微分方程。
• 对极小曲面方程应用特征线法，导出扩展空间 $M \times S^1$ 中关于 $S^1$-值参数 $\psi$ 的常微分方程组。
• 利用庞特里亚金最大值原理，将 $T^*M$ 中的极值曲线与子黎曼测地线关联，并确定特征曲线为测地线的条件。
• 推导出结构性常数 $c_{ij}^k$ 满足特征曲线为测地线的显式条件，根据 $c_{12}^1$、$c_{12}^2$ 与 $c_{32}^1 + c_{31}^2$ 是否为零进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般共秩1子黎曼流形中，极小曲面能否在不依赖全局结构（如CR几何）的前提下实现内在定义？
• RQ2 以规范体积形式与水平法向量表示的极小曲面，其内在偏微分方程为何？
• RQ3 海森堡群中特征点的分类是否可推广至所有 $(2,3)$-接触子黎曼结构？
• RQ4 在何种条件下，极小曲面的特征曲线也是子黎曼测地线？
• RQ5 极小曲面的几何性质是否能通过扩展状态空间中的一组常微分方程完全描述？

主要发现

• 内在极小曲面方程 $(d \circ i_\nu \mu)|_W = 0$ 提供了一种适用于所有共秩1子黎曼结构的坐标无关表征。
• 在 $(2,3)$-接触情形下，子黎曼极小曲面是 $M \times S^1$ 中常微分方程组的积分曲面，其中 $S^1$-坐标对应水平方向。
• 特征点的分类——椭圆型、抛物型、双曲型——适用于所有一般 $(2,3)$-接触结构，不仅限于海森堡群。
• 当且仅当结构性常数满足 $c_{31}^1 \cos 2\phi + \frac{c_{32}^1 + c_{31}^2}{2} \sin 2\phi = 0$ 时，特征曲线为子黎曼测地线，且可显式求解 $\phi^*$ 依赖于常数的解。
• 在海森堡群中，所有特征曲线均为测地线，并形成具有一个特征点的全测地平面。
• 在旋转变换群中，仅有两族特征曲线为测地线：$xy$-平面上的直线与竖直线，对应 $\phi^* = \pi/2, 3\pi/2$。