[论文解读] Minimal surfaces in pseudohermitian geometry and the Bernstein problem in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Jenn-Fang Hwang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文在伪厄米几何中发展了 p-极小曲面的理论，引入了 p-平均曲率并分析其退化的双曲-椭圆型方程。在海森堡群 H¹ 中对整体解进行了分类，证明其为具有 Legendre 指向的可展曲面，并在奇点集受约束的条件下建立了 Dirichlet 问题的唯一性结果，从而解决了该设定下的 Bernstein 问题类比。

ABSTRACT

We develop a surface theory in pseudohermitian geometry. We define a notion of (p-)mean curvature and the associated (p-)minimal surfaces. As a differential equation, the p-minimal surface equation is degenerate (hyperbolic and elliptic). To analyze the singular set, we formulate the go through theorems, which describe how the characteristic curves meet the singular set. This allows us to classify the entire solutions to this equation and hence solves the analogue of the Bernstein problem in the Heisenberg group H1. In H1, identified with the Euclidean space R3, the p-minimal surfaces are classical ruled surfaces with the rulings generated by Legendrian lines. We also prove a uniqueness theorem for the Dirichlet problem under a condition on the size of the singular set. We interpret the p-mean curvature: as the curvature of a characteristic curve, as the tangential sublaplacian of a defining function, and as a quantity in terms of calibration geometry. We also show that there are no closed, connected, C2 smoothly embedded constant p-mean curvature or p-minimal surfaces of genus greater than one in the standard S3. This fact

研究动机与目标

• 在伪厄米几何中建立全面的曲面理论，包括 p-平均曲率的定义。
• 分析表现出双曲与椭圆行为的退化 p-极小曲面方程。
• 对海森堡群 H¹ 中 p-极小曲面方程的所有整体解进行分类。
• 在奇点集大小受约束的条件下，建立 Dirichlet 问题的唯一性定理。
• 通过特征曲线、次拉普拉斯算子和校准几何，对 p-平均曲率进行几何解释。

提出的方法

• 在伪厄米流形中引入 p-平均曲率作为几何不变量的概念。
• 将 p-极小曲面方程表述为在特征点集处奇异的退化完全非线性偏微分方程。
• 建立‘穿过定理’，描述特征曲线在奇点集处的正则性与交截行为。
• 利用穿过定理，将 H¹ 中所有整体 C² 解分类为具有 Legendre 指向的可展曲面。
• 应用校准几何，将 p-平均曲率解释为校准曲率形式。
• 通过定义函数的次拉普拉斯算子，用切向导数表达 p-平均曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在伪厄米几何中，正确的平均曲率概念是什么？它如何推广经典平均曲率？
• RQ2 特征曲线如何与 p-极小曲面的奇点集相互作用？由此产生何种正则性条件？
• RQ3 在海森堡群 H¹ 中，p-极小曲面方程的所有整体解是什么？
• RQ4 在何种条件下，p-极小曲面的 Dirichlet 问题具有唯一解？
• RQ5 在标准 S³ 中，是否存在闭合、连通、C² 光滑嵌入且亏格大于一的常 p-平均曲率或 p-极小曲面？

主要发现

• H¹ 中 p-极小曲面方程的所有整体解均为由 Legendre 直线生成的可展曲面。
• p-极小曲面方程是退化的，在不同点表现出双曲与椭圆行为。
• 穿过定理完整描述了特征曲线穿越奇点集的方式，从而实现了解的分类。
• 当奇点集测度充分小时，Dirichlet 问题的唯一性结果成立。
• 在标准 S³ 中，不存在闭合、连通、C² 光滑嵌入且亏格大于一的常 p-平均曲率或 p-极小曲面。
• p-平均曲率在几何上可解释为特征曲线的曲率、定义函数的切向次拉普拉斯算子，以及校准曲率形式。