[论文解读] Minimal surfaces - variational theory and applications

Fernando C. Marques|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 8

一句话总结

本文综述了极小曲面变分理论的最新进展，强调其通过极小化-极大化方法解决几何问题的作用，以及在拓扑学和数学物理中的应用。本文利用单参数扫掠法在黎曼3-流形中建立了嵌入极小曲面的存在性，并提出了特征值节点集与极小超曲面之间深层联系的猜想。

ABSTRACT

Minimal surfaces are among the most natural objects in Differential Geometry, and have been studied for the past 250 years ever since the pioneering work of Lagrange. The subject is characterized by a profound beauty, but perhaps even more remarkably, minimal surfaces (or minimal submanifolds) have encountered striking applications in other fields, like three-dimensional topology, mathematical physics, conformal geometry, among others. Even though it has been the subject of intense activity, many basic open problems still remain. In this lecture we will survey recent advances in this area and discuss some future directions. We will give special emphasis to the variational aspects of the theory as well as to the applications to other fields.

研究动机与目标

• 综述极小曲面变分理论的最新进展及其在微分几何与拓扑学中的应用。
• 通过极小化-极大化方法与扫掠法，探讨3-流形中嵌入极小曲面的存在性。
• 研究拉普拉斯算子特征值节点集与极小超曲面之间的关系。
• 探讨极小子流形的拓扑、指标与稳定性方面的开放问题。
• 提出关于由特征函数零点集生成的极小曲面的等分布性与渐近行为的猜想。

提出的方法

• 利用第一变分公式，将极小子流形定义为面积泛函在紧支集变分下的临界点。
• 通过积分电流的变分直接法，求解余维一情形下的广义普莱特问题。
• 采用紧致黎曼3-流形的单参数扫掠法，通过极小化-极大化理论构造极小曲面。
• 应用阿尔姆格伦-皮茨与西蒙-史密斯理论，控制极小化-极大化极小曲面的亏格与拓扑。
• 通过拉普拉斯算子特征函数的线性组合的零点集构造极小超曲面，以模拟节点集。
• 猜想：指标为p的极小化-极大化极小曲面通常以重数一出现，并在空间中等分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过扫掠法上的极小化-极大化方法，在任意黎曼3-流形中构造出嵌入极小曲面？
• RQ2 在球面中，是否存在除赤道外的非赤道极小超曲面，且其莫尔斯指标 ≤ n+2？
• RQ3 由特征函数零点集生成的极小超曲面是否构成一个序列，其指标为p，且面积按p^{1/(n+1)}增长？
• RQ4 是否存在关于黎曼流形的极小化-极大化宽度序列ω_p(M)的威耳定律？
• RQ5 面积最小化超曲面的奇点在边界或度量的小扰动下是否稳定？

主要发现

• 在R^3中，每条光滑的若尔当曲线都张紧一个面积最小的圆盘型曲面，此结果由道格拉斯与拉多证明。
• 在任意闭3-流形中，存在一个嵌入的极小2-球面，此结果由西蒙与史密斯通过同伦扫掠法证明。
• 由海加德分裂构造的极小化-极大化极小曲面，其亏格受海加德曲面亏格的限制，近期凯托弗的工作证实了这一亏格界。
• 极小化-极大化极小曲面的指标猜想等于相应特征函数节点集的指标。
• 第p个极小化-极大化极小曲面的面积猜想渐近增长为p^{1/(n+1)}倍以流形的体积。
• 复射影空间中唯一的稳定积分循环是代数曲面的形式和，此结果由劳森与西蒙斯证明。