[论文解读] Minimal time control of exact synchronization for parabolic systems

Lijuan Wang, Qishu Yan|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了线性抛物系统精确同步的最短时间控制的必要且充分条件，证明了当且仅当控制范数超过依赖于初始状态的临界阈值时，最优控制存在。关键贡献是基于对偶性的表征，通过抛物PDE带状态约束的时间最优控制框架，将最短时间控制与最小范数控制问题联系起来。

ABSTRACT

This paper studies a kind of minimal time control problems related to the exact synchronization for a controlled linear system of parabolic equations. Each problem depends on two parameters: the bound of controls and the initial state. The purpose of such a problem is to find a control (from a constraint set) synchronizing components of the corresponding solution vector for the controlled system in the shortest time. In this paper, we build up a necessary and sufficient condition for the optimal time and the optimal control; we also obtain how the existence of optimal controls depends on the above mentioned two parameters.

研究动机与目标

• 研究具有有界控制的线性抛物系统中精确同步的最短时间控制问题。
• 确定能够以最短可能时间同步系统各分量的最优控制的存在性与表征。
• 建立抛物系统中最短时间控制与最小范数控制问题之间的对偶性。
• 基于初始状态与控制界，推导最优控制存在性的必要且充分条件。
• 分析最优时间与控制如何依赖于初始状态及控制范数约束。

提出的方法

• 为具有狄利克雷边界条件和子域内分布控制的线性抛物系统制定最短时间控制问题。
• 定义控制约束集 $\mathcal{U}_M$，其 $L^2$-范数受 $M > 0$ 限制，以及目标集 $S$，其中所有分量相等。
• 引入算子 $D$ 表示各分量之间的差异，因此 $D\bm{y} = \bm{0}$ 描述精确同步。
• 应用对偶理论，将最短时间控制问题与变换后系统 $\bm{z}_t - \Delta \bm{z} + A\bm{z} = \chi_\omega B\bm{u}$ 的最小范数控制问题联系起来，初始数据为 $D\bm{y}_0$。
• 利用庞特里亚金最大值原理与时间反演技术，推导最短时间问题的最优性条件。
• 通过函数 $N(T, \bm{y}_0)$ 建立最短时间问题与最小范数问题最优控制之间的等价性，该函数表示在时间 $T$ 前实现同步所需的最小 $L^2$-范数控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定控制界下，抛物系统精确同步的最短时间控制在何种条件下存在？
• RQ2 最优时间如何依赖于初始状态与控制范数约束？
• RQ3 在抛物系统背景下，最短时间控制与最小范数控制之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过与最小范数控制问题的对偶性来表征最短时间问题的最优控制？
• RQ5 控制范数 $M$ 的精确阈值是多少，可保证同步最优控制的存在性？

主要发现

• 最优时间 $T(M, \bm{y}_0)$ 有限当且仅当 $M > M(\bm{y}_0)$，其中 $M(\bm{y}_0)$ 是实现同步所需的最小 $L^2$-范数。
• 最短时间问题的最优控制存在当且仅当控制范数 $M$ 超过依赖于初始状态 $\bm{y}_0$ 的阈值 $M(\bm{y}_0)$。
• $(TP)_M^{\bm{y}_0}$ 的最优控制 $\bm{u}^*$ 满足 $\|\bm{u}^*\|_{L^2(0,\infty;L^2(\Omega)^m)} = N(T(M, \bm{y}_0), \bm{y}_0)$，将最短时间与最小范数问题联系起来。
• 最优时间 $T(M, \bm{y}_0)$ 满足 $T(M, \bm{y}_0) = T(N(T(M, \bm{y}_0), \bm{y}_0), \bm{y}_0)$，表明时间与范数最小化之间存在自洽的对偶性。
• 最优控制 $\bm{u}^*$ 在 $(0, T(M, \bm{y}_0))$ 上的正测度集合上非零，确认控制在整个同步过程中均处于激活状态。
• 该问题适定：若 $M > M(\bm{y}_0)$，则 $T(M, \bm{y}_0) > 0$，且最优控制唯一，由变换后系统的最小范数控制表征。