[论文解读] Minimal value set polynomials and a generalization of the Hermitian curve

Herivelto Borges, Ricardo Conceição|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入了一类新的有限域上的代数曲线，通过在定义方程中使用极小值集多项式（MVSPs），推广了赫尔米蒂安曲线和范数-轨迹曲线。该构造产生了具有高 rational 点计数的曲线，并显式计算了无穷远处的 Weierstrass 半群，从而得到新的 Castle 曲线，并提升了 $ N/g $ 比值，其关键贡献在于通过望远镜半群理论确定了特殊子类的 Weierstrass 半群。

ABSTRACT

We use a recent characterization of minimal value set polynomials and $q$- Frobenius nonclassical curves to construct curves that generalize the Hermitian curve. The genus $g$ and the number $N$ of $\mathbb{F}_q$-rational points of the curves are computed and, for a special family of these curves, we determine the Weierstrass semigroup at the unique point at infinity. These special curves yield new examples of Castle curves and improve on a previous example of Garcia-Stichtenoth of curves with large ratio $N/g$.

研究动机与目标

• 通过在定义方程中使用极小值集多项式（MVSPs）扩展赫尔米蒂安曲线，实现其在有限域上的推广。
• 构造具有高有理点数与亏格比值（$N/g$）的曲线，优于已知示例（如范数-轨迹曲线和广义赫尔米蒂安曲线）。
• 显式计算这些曲线中一个特殊子类在唯一无穷远点处的 Weierstrass 半群，以支持更优的代数几何码构造。
• 建立 MVSPs 与 $q$-Frobenius 非经典曲线之间的联系，利用 MVSPs 的最新刻画结果。
• 证明所构造的曲线为 Castle 曲线，这类曲线以支持优良的代数几何码而著称。

提出的方法

• 在 $ \bar{\bbF}_{q^n} $ 上定义一类新曲线 $ \tilde{\text{H}} $，其方程为 $ y^{q^{n-1}} + \rho y^{q^{n-2}} + \rho^q y^{q^{n-3}} + \rho^{q^2} y^{q^{n-4}} + \rho^{q^3} y^{q^{n-5}} + \rho^{q^4} y^{q^{n-6}} + \rho^{q^5} y^{q^{n-7}} + \rho^{q^6} y^{q^{n-8}} + \rho^{q^7} y^{q^{n-9}} = f(x) $，其中 $ f(x) $ 是一个极小值集多项式，其值集为 $ \bbF_q $。
• 利用先前工作中对 MVSPs 的刻画，确保右边多项式 $ f(x) $ 满足 $ \text{card}(V_f) = \floor{(q^n - 1)/\text{deg}(f)} + 1 $，从而保证曲线为 $ q $-Frobenius 非经典曲线。
• 应用 $ q $-Frobenius 非经典曲线的理论，推导出曲线 $ \tilde{\text{H}} $ 为 $ q $-Frobenius 非经典曲线，意味着其具有有利的算术与几何性质。
• 构造具有已知 $ Q $-进赋值的有理函数 $ w_1 $ 和 $ w_2 $，以确定无穷远点 $ Q $ 处的 Weierstrass 半群，其中 $ v_Q(w_1) = -(q^{n-r} + q^n) $ 且 $ v_Q(w_2) = -(q^{2r} - q^n + q^r + 1) $。
• 证明 Weierstrass 半群 $ H(Q) $ 由 $ q^{n-1}, q^{n-1}+q^{r-1}, q^n + q^{n-r}, q^{2r-1} + q^{n-r-1}, q^{2r} - q^n + q^r + 1 $ 生成，并证明其为望远镜半群且对称。
• 利用望远镜半群的亏格公式：$ g(S) = \frac{1}{2} \big( \frac{d_0}{d_1} - 1 \big)a_1 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_1}{d_2} - 1 \big)a_2 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_2}{d_3} - 1 \big)a_3 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_3}{d_4} - 1 \big)a_4 + \frac{1}{2} \big( \frac{d_4}{d_5} - 1 \big)a_5 + 1 $，以确认其亏格与曲线的亏格一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用极小值集多项式（MVSPs）在更高维有限域上推广赫尔米蒂安曲线，同时保持其优良的几何与算术性质？
• RQ2 对于这些广义曲线的一个特殊子类，在唯一无穷远点处的 Weierstrass 半群是什么？它如何影响代数几何码的构造？
• RQ3 与已知曲线（如范数-轨迹曲线和广义赫尔米蒂安曲线）相比，有理点数与亏格之比 $ N/g $ 如何？
• RQ4 所构造的曲线是否为 $ q $-Frobenius 非经典曲线？这对有理点分布及其在编码理论中的应用有何影响？
• RQ5 能否显式计算曲线的 Weierstrass 半群，并证明其为望远镜半群且对称，从而确保最优码参数？

主要发现

• 所构造曲线 $ \tilde{\text{H}} $ 的亏格 $ g $ 为 $ q^r(q^{n-1} + 1)/2 $，与通过 Weierstrass 半群公式计算出的亏格一致。
• 在唯一无穷远点处的 Weierstrass 半群 $ H(Q) $ 显式确定为 $ \big\bracevert q^{n-1}, q^{n-1}+q^{r-1}, q^n + q^{n-r}, q^{2r-1} + q^{n-r-1}, q^{2r} - q^n + q^r + 1 \big\bracevert $，并证明其为望远镜半群且对称。
• 曲线 $ \tilde{\text{H}} $ 为 $ q $-Frobenius 非经典曲线，该结论由 MVSP 的刻画结果确认，表明 $ f(x) $ 的结构与曲线的非经典性密切相关。
• 在 $ \bbF_{q^n} $ 上的有理点数 $ N $ 为 $ q^{2n-1} + 1 $，与广义赫尔米蒂安曲线一致，且在 $ N/g $ 比值上优于范数-轨迹曲线。
• 曲线 $ \tilde{\text{H}} $ 是 Castle 曲线，因其满足此类曲线的必要条件，而 Castle 曲线以支持具有优良参数的代数几何码而著称。
• 该构造产生了新的曲线示例，其 $ N/g > 2\frac{q^{n-1}}{2} $，在点效率方面超越了 Garcia 和 Stichtenoth 的先前示例。