[论文解读] Minimax Optimal Sequential Hypothesis Tests for Markov Processes

Michael Fauß, Abdelhak M. Zoubir+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 58被引用 3

一句话总结

本文为在分布不确定性下的马尔可夫过程中开发了极小极大最优的序列假设检验，结合了序列检验的效率与对模型失配的鲁棒性。通过识别在数据依赖的广义 f-差异度量下最相似的最不利分布，建立了严格极小极大最优性的充分条件，从而在模型不确定的时间关键应用中实现鲁棒且高效的决策。

ABSTRACT

Under mild Markov assumptions, sufficient conditions for strict minimax optimality of sequential tests for multiple hypotheses under distributional uncertainty are derived. First, the design of optimal sequential tests for simple hypotheses is revisited and it is shown that the partial derivatives of the corresponding cost function are closely related to the performance metrics of the underlying sequential test. Second, an implicit characterization of the least favorable distributions for a given testing policy is stated. By combining the results on optimal sequential tests and least favorable distributions, sufficient conditions for a sequential test to be minimax optimal under general distributional uncertainties are obtained. The cost function of the minimax optimal test is further identified as a generalized $f$-dissimilarity and the least favorable distributions as those that are most similar with respect to this dissimilarity. Numerical examples for minimax optimal sequential tests under different uncertainties illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 为在分布不确定性下的马尔可夫过程中多个假设的序列检验开发极小极大最优方法。
• 通过在设计中引入鲁棒性，解决经典序列检验在模型失配下性能退化的问题。
• 将 Kiefer–Weiss 问题与鲁棒检测统一于单一序列检验框架之中。
• 将最不利分布表征为在具有数据依赖权重的广义 f-差异度量下最相似的分布。
• 提供一种实用的极小极大最优检验设计方法，并通过数值验证。

提出的方法

• 在较弱的马尔可夫假设和一般分布不确定性下，推导出严格极小极大最优性的充分条件。
• 重新审视多个简单假设的最优序列检验，将代价函数的偏导数与性能指标关联。
• 隐式表征最不利分布，表明当底层过程在数据依赖加权下变为马尔可夫过程时，最不利分布即出现。
• 将极小极大最优检验的代价函数识别为广义 f-差异度量，且最不利分布为在该度量下最相似的分布。
• 提出一种基于对偶性和鞍点条件的实用设计方法，并通过数值例子验证。
• 建立极小极大最优性与涉及对偶变量和约束错误概率的鞍点解之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在马尔可夫过程中存在分布不确定性时，序列检验在何种条件下为极小极大最优？
• RQ2 在存在模型不确定性的序列假设检验中，最不利分布如何表征？
• RQ3 在极小极大框架中，控制最不利分布识别的统计相似性度量是什么？
• RQ4 数据依赖权重如何影响序列检验的鲁棒性与最优性？
• RQ5 极小极大最优检验能否被实际设计？其在模型失配下与经典方法相比表现如何？

主要发现

• 在较弱的马尔可夫假设和一般分布不确定性下，推导出序列检验严格极小极大最优性的充分条件。
• 证明极小极大最优检验对最不利分布是最优的，且这些最不利分布通过检验性能指标隐式表征。
• 最不利分布被识别为在具有数据依赖权重的广义 f-差异度量下最相似的分布。
• 正式识别出极小极大最优检验的代价函数为广义 f-差异度量，为鲁棒性提供了统计基础。
• 数值例子表明，所提方法在模型失配下仍能有效保持低期望运行长度和错误概率。
• 该框架统一了 Kiefer–Weiss 问题与鲁棒检测，表明极小极大最优序列检验可通过对偶性和鞍点分析推导得出。