[论文解读] Minimax principle for right eigenvalues of dual quaternion matrices and their generalized inverses

Ling Chen, Liqun Qi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Optical measurement and interference techniques被引用 4

一句话总结

本文为双四元数厄米特矩阵的右特征值建立了极小极大原理，并利用奇异值分解和新推导的柯西-施瓦茨不等式，发展了双四元数矩阵的广义逆。关键贡献是通过结构化矩阵条件，完整刻画了 {1}、{3} 和 {4}-型广义逆，从而实现了在三维运动建模与多智能体控制系统中对谱分析与逆运算的支撑。

ABSTRACT

Dual quaternions can represent rigid body motion in 3D spaces, and have found wide applications in robotics, 3D motion modelling and control, and computer graphics. In this paper, we introduce three different right linear independency for a set of dual quaternion vectors, and study some related basic properties for the set of dual quaternion vectors and dual quaternion matrices. We present a minimax principle for right eigenvalues of dual quaternion Hermitian matrices. Based upon a newly established Cauchy-Schwarz inequality for dual quaternion vectors and singular value decomposition of dual quaternion matrices, we propose an important inequality for singular values of dual quaternion matrices. We finally introduce the concept of generalized inverse of dual quaternion matrices, and present the necessary and sufficient conditions for a dual quaternion matrix to be one of four types of generalized inverses of another dual quaternion matrix.

研究动机与目标

• 为双四元数向量的三种不同右线性无关性概念建立形式化定义，以支持双四元数矩阵系统的结构性分析。
• 为双四元数厄米特矩阵的特征值建立极小极大原理，将经典谱理论推广至非交换代数。
• 利用奇异值分解与新的柯西-施瓦茨不等式，推导双四元数矩阵的法恩-霍夫曼不等式版本。
• 定义并刻画双四元数矩阵的摩尔-彭罗斯型广义逆，尤其针对 {1}、{3} 和 {4}-逆。
• 提供双四元数矩阵成为另一矩阵广义逆的充分必要条件，基于结构化矩阵分解。

提出的方法

• 引入双四元数向量的三种右线性无关性定义，分析其对矩阵秩与向量空间结构的影响。
• 推导双四元数向量的新柯西-施瓦茨不等式，为内积与奇异值的有界性分析提供关键支持。
• 应用双四元数矩阵的奇异值分解（SVD），建立奇异值的法恩-霍夫曼型不等式。
• 提出广义逆的参数化形式，基于分解 $ A = A_{\rm st} + A_{\rm I}\epsilon $，其中 $ A_{\rm st} $ 与 $ A_{\rm I} $ 为实矩阵。
• 通过涉及 $ A_{\rm st}^\dagger $ 与厄米特条件的矩阵方程，推导 $ X = A_{\rm st}^\dagger - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm I} A_{\rm st}^\dagger \epsilon $ 成为 {1}、{3} 或 {4}-逆的充分必要条件。
• 通过基于SVD的显式反演公式，验证当所有非零奇异值均显著时，摩尔-彭罗斯广义逆的存在性与结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为双四元数向量集合一致定义右线性无关性？其对矩阵秩与向量空间结构有何影响？
• RQ2 双四元数厄米特矩阵的特征值的极小极大表征为何？其如何扩展经典变分原理？
• RQ3 能否为双四元数矩阵的奇异值建立法恩-霍夫曼型不等式？其形式如何？
• RQ4 双四元数矩阵成为另一矩阵的 {1}、{3} 或 {4}-广义逆的充分必要条件为何？
• RQ5 在何种条件下，双四元数矩阵存在摩尔-彭罗斯广义逆？其显式形式为何？

主要发现

• 建立了双四元数厄米特矩阵特征值的极小极大原理，将瑞利-里茨变分原理推广至双四元数设定。
• 推导出双四元数向量的新柯西-施瓦茨不等式，使非交换环境下内积与奇异值的分析成为可能。
• 利用SVD与新柯西-施瓦茨不等式，证明了双四元数矩阵奇异值的不等式，其形式与复矩阵的法恩-霍夫曼不等式类似。
• 矩阵 $ X $ 成为 $ A $ 的 {1}-广义逆的充分必要条件为 $ (I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger)A_{\rm I}(I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) = O $，确保满足标准逆条件。
• 为使 $ X $ 成为 {3}-广义逆，需满足 $ (I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger)A_{\rm I}A_{\rm st}^\dagger = (A_{\rm st}^*)^\dagger A_{\rm I}^*(I_m - A_{\rm st}A_{\rm st}^\dagger) $，确保 $ AX $ 为厄米特矩阵。
• 为使 $ X $ 成为 {4}-广义逆，需满足 $ A_{\rm st}^\dagger A_{\rm I}(I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) = (I_n - A_{\rm st}^\dagger A_{\rm st}) A_{\rm I}^* (A_{\rm st}^*)^\dagger $，确保 $ XA $ 为厄米特矩阵。