[论文解读] Minimax representation of nonexpansive functions and application to zero-sum recursive games

Marianne Akian, Stéphane Gaubert+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过弱Minkowski范数，为拓扑向量空间上的非扩张、正 homogeneous 函数建立了极小极大表示，证明了此类函数是线性形式的逐点上确界。关键贡献在于将零和递归博弈（Everett博弈）中的Shapley算子表征为具有有限动作集和确定性转移的极小极大映射，从而实现了多面体逼近，并应用于非凸风险度量。

ABSTRACT

We show that a real-valued function on a topological vector space is positively homogeneous of degree one and nonexpansive with respect to a weak Minkowski norm if and only if it can be written as a minimax of linear forms that are nonexpansive with respect to the same norm. We derive a representation of monotone, additively and positively homogeneous functions on $L^\infty$ spaces and on $\mathbb{R}^n$, which extend results of Kolokoltsov, Rubinov, Singer, and others. We apply this representation to nonconvex risk measures and to zero-sum games. We derive in particular results of representation and polyhedral approximation for the class of Shapley operators arising from games without instantaneous payments (Everett's recursive games).

研究动机与目标

• 建立关于实值函数的一般极小极大表示，这些函数是一阶正 homogeneous 的，并且相对于弱Minkowski范数是非扩张的。
• 将现有关于 $\mathbb{R}^n$ 和 $L^\infty$ 空间上单调、可加和正 homogeneous 算子的结果进行推广。
• 将该表示应用于零和递归博弈，特别是无即时支付的Everett递归博弈。
• 利用有限极小极大结构推导Shapley算子的多面体逼近。
• 基于极小极大形式，为非凸风险度量提供一种新的表示。

提出的方法

• 在非对称或非强制设定下，使用弱Minkowski范数替代标准范数。
• 证明拓扑向量空间上非扩张、正 homogeneous 函数的极小极大表示定理（定理3.4）。
• 通过推论4.3将该表示应用于 $\mathbb{R}^n$ 上的单调、可加和正 homogeneous 算子。
• 在 $\ell^\infty$-范数下构造有限 $\varepsilon$-网，以极小极大映射逼近Shapley算子。
• 推导一种多面体逼近方案，其中每个坐标映射是具有至多两个正分量的随机向量的有限极小极大。
• 利用算子的非扩张性和正 homogeneous 性质，以 $\varepsilon$ 和 $\ell^\infty$-范数表示逼近误差的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个拓扑向量空间上的非扩张、正 homogeneous 函数是否都能表示为非扩张线性形式的极小极大？
• RQ2 无即时支付的零和递归博弈中出现的Shapley算子的精确表征是什么？
• RQ3 此类算子如何通过具有结构化转移矩阵的有限极小极大映射进行逼近？
• RQ4 极小极大表示能否用于推导非凸风险度量的新表示？
• RQ5 当用有限极小极大映射替代连续Shapley算子时，逼近误差是多少？

主要发现

• 一个定义在拓扑向量空间上的实值函数，当且仅当它能表示为非扩张线性形式的极小极大时，是一阶正 homogeneous 且相对于弱Minkowski范数是非扩张的。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上的单调、可加和正 homogeneous 算子，可表征为Everett递归博弈的Shapley算子，其中支付仅在最终阶段发生。
• 每个此类算子都能被一个有限极小极大映射 $G_i(x) = \min_{a \in A^*_i} \max_{b \in B_{i,a}} \sum_{j=1}^n P_{ij}^{ab} x_j$ 逼近，其中 $A^*_i$ 和 $B_{i,a}$ 有限，且每个 $P^{ab}$ 是至多有两个正分量的随机向量。
• 对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个无支付的Shapley算子 $G$，使得对所有 $x \in \mathbb{R}^n$ 和所有 $i$，有 $F_i(x) \leq G_i(x) \leq F_i(x) + \varepsilon \|x\|_\infty$。
• 逼近误差由 $\ell^\infty$-范数下单位球的 $\varepsilon$-网密度控制，其界为 $\|G(x) - F(x)\|_\infty \leq \varepsilon \|x\|_\infty$。
• 结果可推广至非凸风险度量，为非凸风险度量提供一种类似于一致风险度量的极小极大表示框架，但无需凸性假设。