[论文解读] Minimax Solutions of Hamilton--Jacobi Equations with Fractional Coinvariant Derivatives

M. I. Gomoyunov|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出了一类针对具有分数阶共变导数（阶数 α ∈ (0,1)）的哈密顿-雅可比方程的极小极大解概念，该方程源于卡普托分数阶系统最优控制问题。该方法通过一种新颖的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函构造，建立了存在性、唯一性，并与经典解保持一致，证明了在非局部、分数阶设定下广义解所必需的比较原理。

ABSTRACT

We consider a Cauchy problem for a Hamilton--Jacobi equation with coinvariant derivatives of an order $\alpha \in (0, 1)$. Such problems arise naturally in optimal control problems for dynamical systems which evolution is described by ordinary differential equations with the Caputo fractional derivatives of the order $\alpha$. We propose a notion of a generalized in the minimax sense solution of the considered problem. We prove that a minimax solution exists, is unique, and is consistent with a classical solution of this problem. In particular, we give a special attention to the proof of a comparison principle, which requires construction of a suitable Lyapunov--Krasovskii functional.

研究动机与目标

• 解决由卡普托分数阶微分方程控制的最优控制问题中，价值泛函缺乏经典光滑性的问题。
• 为具有分数阶共变导数的哈密顿-雅可比方程发展一种广义解概念——极小极大解。
• 为该广义解建立比较原理，这对于唯一性以及与经典解的一致性至关重要。
• 在哈密顿函数和边界数据的标准假设下，证明极小极大解的存在性与唯一性。
• 弥合最优控制理论与分数阶动力学背景下类似粘性解的概念之间的差距。

提出的方法

• 通过涉及阶数为 α 的卡普托导数的分数阶特征微分包含关系，利用非局部稳定性性质来定义极小极大解。
• 利用动态规划原理，将价值泛函与具有共变导数的哈密顿-雅可比方程联系起来。
• 构造一种具有特定性质的专用李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，以证明比较原理，这是关键技术的创新点。
• 应用微分包含理论的技术，特别是卡普托型分数阶包含解集的性质。
• 通过特征轨迹的下确界与上确界卷积构造上解与下解，从而实现极小极大解的构造。
• 对候选泛函应用闭包操作（上闭包与下闭包）以定义最终的极小极大解，确保所需的下半连续性与比较性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当由于缺乏光滑性而经典解失效时，如何为具有分数阶共变导数的哈密顿-雅可比方程定义广义解概念？
• RQ2 在极小极大意义下，何种条件可确保此类广义解的存在性与唯一性？
• RQ3 在分数阶微分包含与非局部动力学背景下，如何建立比较原理？
• RQ4 当价值泛函足够光滑时，极小极大解与经典解之间存在何种关系？
• RQ5 能否构造出一种合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，以支持分数阶系统中比较原理的成立？

主要发现

• 对于阶数 α ∈ (0,1) 的哈密顿-雅可比方程的柯西问题，极小极大解存在。
• 在哈密顿函数与边界数据的假设 (H.1)–(H.3) 和 (σ) 下，极小极大解唯一。
• 当价值泛函足够光滑（α 阶 ci-光滑）时，极小极大解与经典解保持一致。
• 通过构造一种专用于分数阶积分与卡普托导数性质的专用李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，建立了比较原理。
• 比较原理的证明依赖于涉及分数阶积分的新估计，以及分数阶微分包含解集的紧致性。
• 极小极大解被构造为上解的下确界与下解的上确界，通过基于特征轨迹导出的候选泛函的闭包操作实现。