[论文解读] Minimisation of Deterministic Parity and Buchi Automata and Relative Minimisation of Deterministic Finite Automata

Sven Schewe|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了最小化确定性Büchi、Co-Büchi和parity自动机的NP-完全性，同时引入了'几乎等价性'——一种针对确定性有限自动机（DFAs）的宽松等价关系，允许在无限运行中接受行为存在有界差异。主要贡献是提出一种可有效计算的、时间复杂度为二次的相对最小化算法，用于在几乎等价性下对DFAs进行最小化，从而实现高效的state-space压缩，并通过聚焦强连通分量（SCCs）实现进一步优化。

ABSTRACT

In this report we study the problem of minimising deterministic automata over finite and infinite words. Deterministic finite automata are the simplest devices to recognise regular languages, and deterministic Buchi, Co-Buchi, and parity automata play a similar role in the recognition of ω-regular languages. While it is well known that the minimisation of deterministic finite and weak automata is cheap, the complexity of minimising deterministic Buchi and parity automata has remained an open challenge. We establish the NP-completeness of these problems. A second contribution of this report is the introduction of relaxed minimisation of deterministic finite automata. Like hyper-minimisation, relaxed minimisation allows for some changes in the language of the automaton: We seek a smallest automaton that, when used as a monitor, provides a wrong answer only a bounded number of times in any run of a system. We argue that minimisation of finite automata, hyper-minimisation, relaxed minimisation, and the minimisation of deterministic Buchi (or Co-Buchi) automata are operations of increasing reduction power, as the respective equivalence relations on automata become coarser from left to right. When we allow for minor changes in the language, relaxed minimisation can therefore be considered as a more powerful minimisation technique than hyper-minimisation from the perspective of finite automata. From the perspective of Buchi and Co-Buchi automata, we gain a cheap algorithm for state-space reduction that also turns out to be beneficial for further heuristic or exhaustive state-space reductions put on top of it.

研究动机与目标

• 确定最小化确定性Büchi、Co-Büchi和parity自动机的计算复杂性。
• 为DFAs引入一种新的等价关系——几乎等价性，允许在无限运行中接受行为存在有界差异。
• 在几乎等价性下开发一种可有效计算的最小化算法，为Büchi和Co-Büchi自动机的进一步state-space压缩奠定基础。
• 证明在几乎等价性下的相对最小化能保持语言性质，并支持高效的SCC粒度优化。
• 证明该方法可与语言等价性结合，生成更小、语言等价的自动机，且结构更利于进一步压缩。

提出的方法

• 将几乎等价性定义为DFAs之间的一种关系，其中对任意无限词的有限前缀，接受行为仅在有限多个位置上不同，确保每条运行的几乎所有位置上保持等价。
• 构建一个确定性parity自动机（DPA），用于检查两个状态间语言对称差的非空性，利用优先级函数区分接受差异。
• 通过两个自动机的积构造，构建一个跟踪语言差异的DPA，优先级根据状态对的接受状态分配。
• 利用SCC分解识别语言差异持续存在的非平凡组件，从而高效识别几乎等价状态。
• 通过引入Büchi或Co-Büchi解释下DFAs的语言等价性检查，强化算法，进一步压缩state space。
• 利用SCC可独立处理的特性，特别是对弱SCC，优化进一步的最小化启发式方法和穷举搜索策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定性Büchi、Co-Büchi和parity自动机的最小化问题是否为NP-完全？
• RQ2 能否为DFAs定义一种宽松的等价关系，使其在无限运行中接受行为存在有界差异，同时保持语言性质？
• RQ3 是否存在一种可有效计算的算法，用于在该宽松等价关系（几乎等价性）下寻找最小自动机？
• RQ4 几乎等价最小化能否作为预处理步骤，提升后续对Büchi和Co-Büchi自动机state-space压缩的效率？
• RQ5 强连通分量（SCCs）的结构是否允许在几乎等价自动机中进行独立优化？

主要发现

• 最小化确定性Büchi、Co-Büchi和parity自动机是NP-完全的，排除了对这些类别进行高效精确最小化的可能性。
• 几乎等价性是DFAs语言等价性的一种自然、语言保持的宽松化形式，允许在无限运行中存在有界接受差异。
• 基于DPA构造，可在二次时间内计算几乎等价性下的相对最小化，用于检测语言差异。
• 最小几乎等价自动机的规模保证不大于最小语言等价DFA，且可通过语言等价性检查进一步压缩。
• 该算法支持有效的SCC粒度优化：对弱SCC，所有状态可被置为等价并合并，而不会改变语言。
• 该方法为加速启发式和穷举最小化技术（如贪心合并和基于SAT的方法）提供了基础，通过独立隔离和压缩SCC实现。