[论文解读] Minimization of Automata

Jean Berstel, Luc Boasson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

semigroups and automata theory被引用 8

一句话总结

本文对有限自动机最小化算法进行了全面分析，比较了划分细化方法（Moore算法与Hopcroft算法）和状态合并技术（Revuz算法与Daciuk算法）。研究确立了Hopcroft算法与Moore算法在行为和复杂度上存在本质差异，其中Hopcroft算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n log n)，同时证明了二者无法相互模拟，并将结果扩展至增量式与非确定性自动机的最小化问题。

ABSTRACT

This chapter is concerned with the design and analysis of algorithms for minimizing finite automata. Getting a minimal automaton is a fundamental issue in the use and implementation of finite automata tools in frameworks like text processing, image analysis, linguistic computer science, and many other applications. There are two main families of minimization algorithms. The first by a sequence of refinements of a partition of the set of states, the second by a sequence of fusions or merges of states. Hopcroft's and Moore's algorithms belong to the first family, the linear-time minimization of acyclic automata of Revuz belongs to the second family. One of our studies is upon the comparison of the nature of Moore's and Hopcroft's algorithms. This gives some new insight in both algorithms. As we shall see, these algorithms are quite different both in behavior and in complexity. In particular, we show that it is not possible to simulate the computations of one of the algorithm by the other. We describe the minimization algorithm by fusion for so-called local automata. A special case of minimization is the construction o minimal automata for finite sets. We consider briefly this case, and in particular describe incremental algorithms. Finally, we consider the case of updating a minimal automaton when a word is added or removed from the set it recognizes.

研究动机与目标

• 分析并比较主要有限自动机最小化算法的设计、行为与复杂度。
• 研究基于划分细化与基于状态合并的最小化方法在理论与实践上的差异。
• 评估Moore算法与Hopcroft算法的平均情况性能，特别是Hopcroft算法缺乏已知的平均情况分析这一问题。
• 将最小化技术扩展至有限词集的增量构造与最小自动机的动态更新。
• 考察最小非确定性自动机的独特性质与挑战，包括最小化问题的NP难性以及残差自动机的作用。

提出的方法

• 通过划分细化形式化自动机最小化，即根据状态的未来行为将其划分为等价类。
• 通过反向遍历转移边并动态细化划分，实现Hopcroft算法，达到O(n log n)的时间复杂度。
• 将Moore算法作为划分细化过程，通过迭代分裂状态块，直至无法进一步细化。
• 应用Revuz的线性时间算法处理无环自动机，基于自底向上的状态融合，利用拓扑序与后缀等价性。
• 将基于融合的最小化方法推广至具有简单环结构及多项式有界语言的自动机，基于Almeida与Zeitoun的推广。
• 通过Daciuk等人提出的算法引入增量最小化，避免构建中间Trie结构，并支持在插入或删除单词时的动态更新。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moore算法与Hopcroft算法在计算行为与时间复杂度上存在哪些差异？二者能否相互模拟？
• RQ2 Hopcroft算法的平均情况时间复杂度是多少？与已知具有O(n log n)平均性能的Moore算法相比如何？
• RQ3 状态合并算法能否从无环自动机推广至更一般的类别，如具有简单环结构或多项式有界语言的自动机？
• RQ4 在添加或删除单词时，自动机的增量最小化面临哪些算法挑战与复杂度界限？
• RQ5 在何种条件下最小非确定性自动机是唯一的？一般情况下最小化非确定性自动机的计算复杂度如何？

主要发现

• Hopcroft算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n log n)，至今仍是效率最高的通用最小化算法。
• Moore算法虽然实现更简单，但最坏情况下的时间复杂度为O(n²)，然而其平均情况性能为O(n log n)，而Hopcroft算法的平均情况性能尚未得到分析。
• 由于在状态处理顺序与细化策略上的根本差异，无法用Moore算法模拟Hopcroft算法的计算过程，反之亦然。
• Revuz针对无环自动机的线性时间最小化算法是最优的，其核心是基于拓扑序的等价状态自底向上融合。
• 基于融合的方法可推广至具有简单环结构及多项式有界语言的自动机，这一结论由Almeida与Zeitoun的扩展工作证实。
• 非确定性自动机的最小化问题是NP难的，即使在无歧义或受限类如δ-NFA中也是如此，且最小化问题的近似求解也属于计算上不可行。