[论文解读] Minimization problems involving nonlocal functionals: nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem

Luca Lombardini|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 78被引用 4

一句话总结

本论文研究涉及非局部泛函的极小化问题，重点关注s-分数次边界测度及其极小化集（即s-极小集）。在高度非局部的参数范围（s较小）下，建立了这些集合的存在性、紧致性与正则性结果，并证明了具有有界偏导数的整个非局部极小图的平坦性结果。主要贡献在于为结合非局部能量与经典边界测度的自由边界问题，提出了一个Weiss型单调性公式。

ABSTRACT

This doctoral thesis is devoted to the analysis of some minimization problems that involve nonlocal functionals. We are mainly concerned with the $s$-fractional perimeter and its minimizers, the $s$-minimal sets. We investigate the behavior of sets having (locally) finite fractional perimeter and we establish existence and compactness results for (locally) $s$-minimal sets. We study the $s$-minimal sets in highly nonlocal regimes, that correspond to small values of the fractional parameter $s$. We introduce a functional framework for studying those $s$-minimal sets that can be globally written as subgraphs. In particular, we prove existence and uniqueness results for minimizers of a fractional version of the classical area functional and we show the equivalence between minimizers and various notions of solution of the fractional mean curvature equation. We also prove a flatness result for entire nonlocal minimal graphs having some partial derivatives bounded from either above or below. Moreover, we consider a free boundary problem, which consists in the minimization of a functional defined as the sum of a nonlocal energy, plus the classical perimeter. Concerning this problem, we prove uniform energy estimates and we study the blow-up sequence of a minimizer---in particular establishing a Weiss-type monotonicity formula.

研究动机与目标

• 分析具有有限分数次边界测度的集合的行为，尤其关注高度非局部参数范围（s较小）的情况。
• 建立（局部）s-极小集的存在性与紧致性结果，拓展先前的研究工作。
• 研究非局部极小图，并在偏导数有界条件下证明平坦性结果。
• 研究结合非局部能量与经典边界测度的自由边界问题，证明一致能量估计与Weiss型单调性公式。
• 为s-极小集的子图构建函数框架，并证明极小化集与分数次平均曲率方程解之间的等价性。

提出的方法

• 利用通过集合特征函数涉及的奇异积分定义的s-分数次边界测度泛函。
• 应用广义分层公式并借助光滑集合逼近来研究有限分数次边界测度的集合。
• 引入子图的函数框架以分析非局部极小图，并证明极小化集的存在性与唯一性。
• 通过极小化集的爆破分析，为自由边界问题推导出Weiss型单调性公式。
• 使用密度论证与光滑化技术，证明当sp < 1时，C∞_c(Ω)在W^{s,p}(Ω)中是稠密的。
• 应用粘性解与弱解理论，将分数次面积泛函的极小化集与分数次平均曲率方程的解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高度非局部参数范围（s较小）下，s-极小集的行为如何？它们表现出何种结构性质？
• RQ2 在何种条件下，整个非局部极小图是平坦的，特别是当偏导数有上界或下界时？
• RQ3 在无穷远处，非局部平均曲率如何表现？它在s-极小集的分类中起什么作用？
• RQ4 在结合非局部能量与经典边界测度的问题中，自由边界具有何种正则性？
• RQ5 分数次面积泛函的极小化集能否通过分数次平均曲率方程等价刻画？

主要发现

• 当s较小时，s-极小集表现出完全的边界粘附性，即以一种强且不可移除的方式接触边界。
• 具有偏导数上界或下界限制的整个非局部极小图必为仿射函数，从而证明了类似Bernstein-Moser的刚性结果。
• 分数次面积泛函（FM_s）的极小化集与分数次平均曲率方程的粘性解等价。
• 为自由边界问题建立了Weiss型单调性公式，从而支持爆破分析与正则性结果的推导。
• 证明了自由边界问题的一致能量估计，且极小化集的爆破序列收敛于一个齐次极小化集。
• 当s < 1/2时，在适当假设下，自由边界在原点邻域内具有C^1,α正则性。