[论文解读] Minimizing Completion Times of Stochastic Jobs on Parallel Machines is Hard

Benjamin Moseley, Kirk Pruhs+2 more|University of Twente Research Information|Jan 24, 2026

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 0

一句话总结

论文证明在并行同质机器上最小化随机作业的期望总加权完成时间问题具有 #P-hard 困难，即使在两点分布与单位权重的情形下 evaluating WSEPT/SEPT 也 #P-hard。

ABSTRACT

This paper considers the scheduling of stochastic jobs on parallel identical machines to minimize the expected total weighted completion time. While this is a classical problem with a significant body of research on approximation algorithms over the past two decades, constant-factor performance guarantees are currently known only under very restrictive assumptions on the input distributions, even when all job weights are identical. This algorithmic difficulty is striking given the lack of corresponding complexity results: to date, it is conceivable that the problem could be solved optimally in polynomial time. We address this gap with hardness results that demonstrate the problem's inherent intractability. For the special case of discrete two-point processing time distributions and unit weights, we prove that deciding whether there exists a scheduling policy with expected cost at most a given threshold is #P-hard. Furthermore, we show that evaluating the expected objective value of the standard (W)SEPT greedy policy is itself #P-hard. These represent the first hardness results for scheduling independent stochastic jobs and min-sum objective that do not merely rely on the intractability of the underlying deterministic counterparts.

研究动机与目标

• 说明随机并行机器调度是否在计算上比确定性调度更困难。
• 在受限的两点分布下，决定一个策略是否达到阈值期望成本是 #P-hard。
• 建立对常见策略如 WSEPT/SEPT 的期望目标值求解的困难性。
• 在不依赖确定性归约的情况下，将困难性扩展到最小和目标的困难性。

提出的方法

• 构造基于背包问题的约简，将在 WSEPT/SEPT 下的期望启动时间差异编码为可行解的计数。
• 定义带有处理时间为 1/n 或 s_j 的背包型随机作业，独立地以 1/2 的概率出现。
• 通过引入阻塞作业和哑作业创建两个实例，以在 WSEPT/SEPT 下强制相同或不同的调度。
• 利用背包可行子集计数的 #P-hard 性来推导对 E[sum w_j C_j] 或 E[sum C_j] 的计算的 #P-hard。
• 通过对阻塞作业的实现进行条件分析并分析成本差异，证明为 WSEPT/SEPT 计算精确期望成本是 #P-hard。

Figure 1: Illustration for an instance with $n=m=9$ : Schedules for the two scheduling instances with blocker jobs (blue), knapsack jobs (striped), and dummy job (tiled) for some NO realization of the processing times. Note that except for the knapsack job on machine no. 2, all start times are ident

实验结果

研究问题

• RQ1 在并行同质机器上，计算最优调度策略以最小化 E[sum_j w_j C_j] 的问题是否为 #P-hard？
• RQ2 即使在受限分布下，固定策略（如 WSEPT 或 SEPT）的精确期望成本的评估是否也可能是 #P-hard？
• RQ3 无权重情形或仅有两点分布的情况下，困难性是否仍然存在？
• RQ4 随机问题与确定性 SPT 基准之间的困难性关系如何？
• RQ5 是否可以将困难性从策略评估扩展到关于阈值成本的判定问题？

主要发现

• 对于具有两点处理时间和单位权重的随机并行机器调度问题，判断某一策略是否达到给定阈值成本是 #P-hard。
• 计算 WSEPT 或 SEPT 的精确期望目标值是 #P-hard。 0
• 这些结果为在不依赖确定性对应问题的情况下，随机调度的 min-sum 目标提供了首个困难性证据。
• 即使在受限的随机性和同质机器条件下，困难性依然成立，将随机问题与其确定性类似物区分开来。
• 对随机作业的最小成本调度问题的求解也是 #P-hard，意味着最优策略求解和对常见策略的精确评估都不存在多项式时间算法的可能性。