[论文解读] Minimizing Polynomial Functions

Pablo A. Parrilo, Bernd Sturmfels|ArXiv.org|Mar 26, 2001

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 2被引用 72

一句话总结

本文提出了一种基于半定规划的松弛方法，用于多项式函数的全局最小化，利用平方和（SOS）与Positivstellensatz。结果表明，该方法在高次多项式情况下优于传统的代数方法（如Gröbner基和同伦法），并且当多项式次数固定时，能够实现多项式时间计算全局最小值。

ABSTRACT

We compare algorithms for global optimization of polynomial functions in many variables. It is demonstrated that existing algebraic methods (Gröbner bases, resultants, homotopy methods) are dramatically outperformed by a relaxation technique, due to N.Z. Shor and the first author, which involves sums of squares and semidefinite programming. This opens up the possibility of using semidefinite programming relaxations arising from the Positivstellensatz for a wide range of computational problems in real algebraic geometry. This paper was presented at the Workshop on Algorithmic and Quantitative Aspects of Real Algebraic Geometry in Mathematics and Computer Science, held at DIMACS, Rutgers University, March 12-16, 2001.

研究动机与目标

• 比较并对比传统代数方法与新型松弛技术在全局多项式优化中的表现。
• 证明基于半定规划的松弛方法在计算效率上优于Gröbner基、结式和同伦法。
• 确立Positivstellensatz可作为实代数几何问题中不可行性的证书。
• 证明当多项式次数固定时，可通过半定规划实现多项式时间求解多项式的全局最小化。
• 提出一种新的计算范式：Positivstellensatz + 半定规划，用于求解实多项式问题。

提出的方法

• 将全局最小化问题表述为寻找最大的λ，使得f(x) − λ在ℝ[x₁,…,xₙ]中是平方和（SOS）。
• 使用半定规划（SDP）计算该最大λ，从而提供全局最小值f*的下界。
• 应用SDP对偶性，当λ = f*时验证最优性，并恢复最小化点p*。
• 利用Positivstellensatz通过SOS恒等式构造多项式不等式与方程组的不可行性证书。
• 通过逐步提高次数D的SDP松弛，测试多项式系统的不可行性，或在约束条件下最小化f。
• 将SOS多项式表示为半正定矩阵，并使用内点法求解所得的SDP问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于平方和的半定规划松弛方法是否在全局多项式优化中优于经典代数方法（如Gröbner基）？
• RQ2 平方和松弛在多大程度上能精确得到多项式函数的全局最小值f*？
• RQ3 Positivstellensatz是否可有效用于构造多项式方程与不等式组的不可行性证书？
• RQ4 使用SOS与半定规划计算多项式全局最小值的计算复杂度如何，尤其当次数固定时？
• RQ5 有界次数D的SDP松弛是否可作为求解实代数几何问题的实用且可扩展的方法？

主要发现

• 基于平方和的半定规划松弛方法在计算实验中始终优于传统代数方法（如Gröbner基和同伦法）。
• 对于固定次数的多项式，可通过半定规划在多项式时间内计算出全局最小值。
• 在计算实验中，该松弛方法在几乎所有测试案例中均精确得到全局最小值（λ = f*），即使在n = 15个变量的问题中也成立。
• 该方法通过SDP对偶性提供最优性证书，当λ = f*时，还可恢复最小化点p*。
• Positivstellensatz提供了一种系统化方法，通过构造SOS恒等式来证明多项式系统的不可行性，且该恒等式可通过SDP计算得出。
• 二阶SDP松弛通过显式SOS恒等式成功证明了系统{x − y² + 3 ≥ 0, y + x² + 2 = 0}的不可行性。