[论文解读] Minimizing Probability of Ruin and a Game of Stopping and Control

Erhan Bayraktar, Virginia R. Young|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2007

Probability and Risk Models被引用 3

一句话总结

本文在随机消费下的终身破产概率最小化问题与布莱克-斯科尔斯市场中的控制器-停止者博弈之间建立了凸对偶性。通过利用这一对偶性，证明了最小破产概率是非线性汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的唯一经典解，从而解决了其对初始状态变量的隐式依赖问题。

ABSTRACT

We reveal an interesting convex duality relationship between two problems: (a) minimizing the probability of lifetime ruin when the rate of consumption is stochastic and when the individual can invest in a Black-Scholes financial market; (b) a controller-and-stopper problem, in which the controller controls the drift and volatility of a process in order to maximize a running reward based on that process, and the stopper chooses the time to stop the running reward and rewards the controller a final amount at that time. Our primary goal is to show that the minimal probability of ruin, whose stochastic representation does not have a classical form as does the utility maximization problem (i.e., the objective's dependence on the initial values of the state variables is implicit), is the unique classical solution of its Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, which is a non-linear boundary-value problem. We establish our goal by exploiting the convex duality relationship between (a) and (b).

研究动机与目标

• 解决破产概率对初始财富和投资动态的隐式依赖问题。
• 将最小破产概率确立为非线性HJB方程的唯一经典解。
• 建立破产最小化与控制器-停止者随机控制问题之间的凸对偶性。
• 为破产概率提供一种非经典随机表示，该表示不显式依赖于初始状态变量。

提出的方法

• 利用凸对偶性，将破产最小化问题与控制器-停止者随机控制框架联系起来。
• 在布莱克-斯科尔斯设定下，将控制器的行为建模为漂移和波动率控制，以最大化持续收益。
• 允许停止者选择最优停止时间以最大化最终收益，从而形成一个双人随机博弈。
• 推导出对偶控制器-停止者问题的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，并建立其解的性质。
• 证明对偶问题的值函数通过对偶性对应于最小破产概率。
• 利用对偶性推断破产问题HJB方程解的正则性和唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当消费为随机且投资处于布莱克-斯科尔斯市场时，如何表征最小终身破产概率？
• RQ2 破产最小化与控制器-停止者随机控制问题之间的凸对偶性本质是什么？
• RQ3 为何破产概率的随机表示由于对初始状态变量的隐式依赖而缺乏经典形式？
• RQ4 尽管存在这种隐式依赖，能否证明最小破产概率是其HJB方程的唯一经典解？
• RQ5 控制器-停止者博弈结构如何促成非经典破产问题的求解？

主要发现

• 最小破产概率是其非线性汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的唯一经典解。
• 破产最小化问题与控制器-停止者博弈之间的凸对偶性，使得解的唯一性和正则性得以证明。
• 由于对初始财富和投资水平的隐式依赖，破产概率的随机表示不具有经典形式。
• 对偶的控制器-停止者问题为通过其HJB方程分析破产问题提供了可处理的框架。
• 对偶变换使得能够绕过破产概率对初始条件依赖中带来的分析挑战。
• 控制器-停止者博弈的HJB方程的解可直接导出破产最小化问题的值函数。