[论文解读] Minimizing the Weighted Number of Tardy Jobs Is W[1]-Hard

Klaus Heeger, Danny Hermelin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 1

一句话总结

本文证明了单机调度问题 1 || ΣwjUj——即在单台机器上最小化迟交作业的加权数量——当以不同处理时间的数量（p#）或不同权重的数量（w#）为参数时，属于 W[1]-难问题。该结果解决了参数复杂性领域长期悬而未决的开放问题，表明除非 FPT = W[1]，否则针对这些参数不存在固定参数可满足的算法，并且在指数时间假设（ETH）下提供了近乎紧致的下界。

ABSTRACT

We consider the $1||\sum w_J U_j$ problem, the problem of minimizing the weighted number of tardy jobs on a single machine. This problem is one of the most basic and fundamental problems in scheduling theory, with several different applications both in theory and practice. We prove that $1||\sum w_J U_j$ is W[1]-hard with respect to the number $p_{\#}$ of different processing times in the input, as well as with respect to the number $w_{\#}$ of different weights in the input. This, along with previous work, provides a complete picture for $1||\sum w_J U_j$ from the perspective of parameterized complexity, as well as almost tight complexity bounds for the problem under the Exponential Time Hypothesis (ETH).

研究动机与目标

• 解决 1 || ΣwjUj 问题在 p# 和 w# 参数下的参数复杂性状态。
• 填补先前研究留下的空白：当 p# 或 w# 为常数时，该问题可在多项式时间内求解。
• 在指数时间假设（ETH）下，为以 p# 或 w# 为参数的算法建立近乎紧致的下界。
• 厘清在‘不同数值个数’参数背景下，可 tractable 与不可 tractable 情况之间的边界。

提出的方法

• 通过从多色团问题（Multicolored Clique problem）归约，证明关于 p# 和 w# 的 W[1]-难性。
• 构建从 Multicolored Clique 到 1 || ΣwjUj 的多项式时间多对一归约，使用作业特定的处理时间、权重和截止日期。
• 设计基于部件的构造方法，其中作业代表 k-部分图中的顶点和边，将团的存在性编码为调度的可行性。
• 使用修改后的归约方法，从划分子图同构问题（Partitioned Subgraph Isomorphism）出发，以加强基于 ETH 的下界。
• 使用大整数常数（例如 N、F、G）将图的结构编码到处理时间和截止日期中。
• 采用标准技巧：改从 Partitioned Subgraph Isomorphism 而非 Multicolored Clique 归约，以提高下界紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以不同处理时间的数量（p#）为参数时，1 || ΣwjUj 是否属于 W[1]-难？
• RQ2 当以不同权重的数量（w#）为参数时，1 || ΣwjUj 是否属于 W[1]-难？
• RQ3 在 ETH 假设下，能否将先前工作的 O(np#+1 lg n) 和 O(nw#+1 lg n) 算法改进至 no(√p#) 或 no(√w#) 时间复杂度？
• RQ4 对于以 p# 或 w# 为参数的 1 || ΣwjUj，当前的下界与上界之间是否存在差距？
• RQ5 当以 p# 或 w# 为参数时，1 || ΣwjUj 是否属于 W[t]（t ≥ 1）？

主要发现

• 1 || ΣwjUj 问题关于 p# 和 w# 属于 W[1]-难，解决了先前研究遗留的开放问题。
• 除非 FPT = W[1]，否则该问题关于 p# 或 w# 不是固定参数可满足的。
• 在指数时间假设（ETH）下，不存在算法能在 no(k / lg k) 时间内求解 1 || ΣwjUj，其中 k = p# 或 k = w#。
• 基于 ETH 的下界近乎紧致，因为目前已知的最佳算法时间复杂度为 O(np#+1 lg n) 和 O(nw#+1 lg n)。
• 从 Partitioned Subgraph Isomorphism 的归约使得下界可收紧至 no(k / lg k)，其中 k = p# 或 w#。
• 该结果完整刻画了 1 || ΣwjUj 在 d#、p# 和 w# 参数下的参数复杂性图景。