[论文解读] Minimizing Wiener Index for Vertex-Weighted Trees with Given Weight and Degree Sequences

Mikhail Goubko|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Graph theory and applications参考文献 14被引用 17

一句话总结

本文证明，通过自底向上算法反复合并权重最小的两个顶点，构造的霍夫曼树即为树的顶点加权Wiener指数（VWWI）的最小化结构。最优结构被证明为一种贪心树，其中内部节点由合并最小权重子树形成，该结果推广了无权树的经典结果，并将霍夫曼算法扩展至具有固定度序列与权重序列的顶点加权图优化问题。

ABSTRACT

In 1997 Klavžar and Gutman suggested a generalization of the Wiener index to vertex-weighted graphs. We minimize the Wiener index over the set of trees with the given vertex weights' and degrees' sequences and show an optimal tree to be the, so-called, Huffman tree built in a bottom-up manner by sequentially connecting vertices of the least weights.

研究动机与目标

• 在顶点权重与度序列固定的前提下，确定使顶点加权Wiener指数（VWWI）最小的树结构。
• 将经典的霍夫曼算法推广至顶点加权树领域，以生成最优前缀码。
• 证明最优树为一种‘合适’的有向树，其子树权重分布满足一个控制条件。
• 建立VWWI最小化与子树权重向量控制之间的联系，从而扩展先前关于无权树的研究结果。
• 提供一种构造性算法，通过基于顶点权重的自底向上合并过程生成最优树。

提出的方法

• 将顶点加权Wiener指数（VWWI）定义为 $\frac{1}{2}\sum_{u,v\in V(G)}\mu_G(u)\mu_G(v)d_G(u,v)$，其中 $\mu_G(v)$ 表示顶点权重。
• 引入‘生成元组’ $\langle\mu, d\rangle$ 的概念，其中顶点权重 $\mu(v)$ 与度 $d(v)$ 固定，且满足 $\sum d(v) = 2(|V|-1)$。
• 构建有向树表示以简化分析，其中每个内部节点代表一个子树，并存储其后代的总权重。
• 定义‘从属组权重向量’ $\mathbf{f}$，表示每个内部节点为根的子树的总权重。
• 利用控制理论比较权重分布：若 $\mathbf{f}(H) \succ^w \mathbf{f}(T)$，则在凹且递增函数下有 $VWWI(H) \leq VWWI(T)$。
• 应用一种变换，证明任意非合适树均可被改进，从而证明最优树必为‘合适’树，即对应于霍夫曼树。

实验结果

研究问题

• RQ1 当顶点权重与度序列固定时，何种树结构可使顶点加权Wiener指数最小化？
• RQ2 经典的霍夫曼算法能否被调整以用于在给定度序列与权重序列下最小化顶点加权树的VWWI？
• RQ3 子树权重向量的控制关系如何与此类树的VWWI最小化相关联？
• RQ4 在何种条件下，自顶向下构建的贪心树与自底向上构建的霍夫曼树在最小化VWWI时等价？
• RQ5 在给定约束下，最优树必须具备何种结构特性才能使VWWI最小化？

主要发现

• 使顶点加权Wiener指数最小化的最优树，即为通过反复合并权重最小的两个顶点所构造的霍夫曼树。
• 最优树为一种‘合适’树，即任意内部节点的子树权重不超过 $\bar{\mu}/2$，其中 $\bar{\mu}$ 为总顶点权重。
• 最优树中子树权重向量控制其他任何树的对应向量，从而在给定约束下确保VWWI最小化。
• VWWI最小化问题可转化为从属组权重向量的控制问题，最优解在权重向量尽可能‘均衡’时达成。
• 该结果推广了先前关于无权树的研究：当所有顶点权重相等时，最优树与固定度序列下的贪心树（Volkmann树）一致。
• 当权重序列严格为正且互不相同时，最优树在同构意义下唯一，且该算法通过自底向上合并过程生成唯一的霍夫曼树。