[论文解读] Minimum cell connection and separation in line segment arrangements

Helmut Alt, Sergio Cabello+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文研究了线段排列中三个基本问题的计算复杂性：通过最少移除线段使两点连通（2-Cells-Connection）、通过最少移除线段使整个排列成为一个连通区域（All-Cells-Connection），以及通过保留线段使两点分离（2-Cells-Separation）。研究证明，2-Cells-Connection 和 All-Cells-Connection 在一般位置下也是 NP-难问题，而 2-Cells-Separation 可通过基于三路径条件的新型拓扑方法在 O(n² + nk) 时间内求解。此外，还为在具有固定数量洞的多边形中受限的 2-Cells-Connection 问题提供了近乎线性时间的算法。

ABSTRACT

We study the complexity of the following cell connection and separation problems in segment arrangements. Given a set of straight-line segments in the plane and two points $a$ and $b$ in different cells of the induced arrangement: (i) compute the minimum number of segments one needs to remove so that there is a path connecting $a$ to $b$ that does not intersect any of the remaining segments; (ii) compute the minimum number of segments one needs to remove so that the arrangement induced by the remaining segments has a single cell; (iii) compute the minimum number of segments one needs to retain so that any path connecting $a$ to $b$ intersects some of the retained segments. We show that problems (i) and (ii) are NP-hard and discuss some special, tractable cases. Most notably, we provide a linear-time algorithm for a variant of problem (i) where the path connecting $a$ to $b$ must stay inside a given polygon $P$ with a constant number of holes, the segments are contained in $P$, and the endpoints of the segments are on the boundary of $P$. For problem (iii) we provide a cubic-time algorithm.

研究动机与目标

• 确定通过移除最少数量的线段，使两个点位于同一区域中的计算复杂性。
• 研究通过线段移除使整个排列成为一个连通区域的复杂性。
• 分析保留最少数量线段以确保两点间任意路径至少与一条保留线段相交的问题。
• 在几何约束下探索可有效求解的变体，例如线段位于带洞多边形内部且端点位于边界上。
• 建立线段排列问题与经典图论问题（如反馈点集和 Max-2-Sat）之间的联系。

提出的方法

• 通过从 Max-2-Sat 问题约化，证明 2-Cells-Connection 的 NP-难性，并建立其 APX-难性。
• 通过从线段交集图中的反馈点集问题约化，证明 All-Cells-Connection 的 NP-难性。
• 基于交集图中环的三路径条件，设计了 O(n² + nk) 时间复杂度的 2-Cells-Separation 算法。
• 利用同伦类和围住圆盘的曲线进行拓扑推理，将线段分组为簇，以解决多边形受限的 2-Cells-Connection 问题。
• 采用基于簇的动态规划方法，处理 2^O(h⁴) 个簇子集，以求解具有 h 个洞的多边形中的受限 2-Cells-Connection 问题。
• 将受限的 2-Cells-Separation 问题约化为加权 2-Cells-Separation 问题，从而可复用相同的算法框架高效求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-Cells-Connection 问题（即寻找最少移除线段数，使两点位于同一区域）是否为 NP-难问题？
• RQ2 All-Cells-Connection 问题（即通过移除线段使整个排列变为单一连通区域）是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 尽管相关问题为 NP-难，2-Cells-Separation 问题（即通过最少移除线段使两点分离）是否仍存在多项式时间算法？
• RQ4 当线段被限制在具有固定数量洞的多边形内且端点位于边界上时，2-Cells-Connection 问题能否被高效求解？
• RQ5 当线段之间正确的交叉点数量受限时，2-Cells-Connection 问题的参数化复杂性如何？

主要发现

• 2-Cells-Connection 问题即使在一般位置下（无三线共点）也是 NP-难且 APX-难的。
• All-Cells-Connection 问题即使在无三线共点且无线段交叉的情况下也是 NP-难的。
• 2-Cells-Separation 问题可在 O(n² + nk) 时间内求解，其中 k 为相交线段对的数量，该算法基于环空间中的三路径条件，为全新设计。
• 对于具有 h 个洞的多边形，受限的 2-Cells-Connection 问题可在 2^O(h⁴) · polylog n 时间内求解，当 h 固定时可得到近乎线性时间的算法。
• 当无三线共点时，All-Cells-Connection 问题关于解大小是固定参数可追踪的，并且存在一个 2-近似算法。
• 多边形中受限的 2-Cells-Separation 问题可约化为加权 2-Cells-Separation 问题，因此继承其高效求解特性。