[论文解读] Minimum co-degree threshold for Berge Hamiltonian cycles in hypergraphs

Linyuan Lü, Zhiyu Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2019

Limits and Structures in Graph Theory被引用 2

一句话总结

该论文确定了确保在$R$-uniform超图中存在Berge哈密顿回路的最小共度阈值，证明了对于任意有限正整数集$R$，每个足够大的共度至少为1的超图均包含长度从3到$n$的所有Berge回路。对于3-uniform超图，表明当$n \geq 7$且共度至少为1时，可保证存在哈密顿Berge回路，并将此结果应用于确定Berge-$C_t$-free和Berge-$P_t$-free超图的最大Lagrangian。

ABSTRACT

We show that for every finite set $R$ of positive integers, there is an integer $n_0=n_0(R)$ such that every $R$-uniform hypergraph $\mathcal{H}$ on $n$ ($n\geq n_0$) vertices with minimum co-degree $\delta_2(\mathcal{H})\geq 1$ contains a Berge cycle $C_s$ for any $3\leq s\leq n$. For $R= \{3\}$, we show that every $3$-graph on $n\geq 7$ vertices with co-degree at least one contains a Hamiltonian Berge cycle. As an application, we determine the maximum Lagrangian of $k$-uniform Berge-$C_{t}$-free hypergraphs and Berge-$P_{t}$-free hypergraphs.

研究动机与目标

• 确定确保在任意有限正整数集$R$的$R$-uniform超图中存在Berge哈密顿回路的最小共度条件。
• 建立在最小共度至少为1的超图中，所有长度从3到$n$的Berge回路存在的阈值。
• 将结构结果应用于确定$k$-uniform超图中Berge-$C_t$-free和Berge-$P_t$-free超图的最大Lagrangian。
• 通过刻画避免Berge回路和路径的超图，扩展已知的超图极值结果。

提出的方法

• 利用极值超图理论分析$R$-uniform超图中共度条件$\delta_2(\mathcal{H}) \geq 1$。
• 应用归纳法和结构分解技术，证明共度至少为1的超图包含所有长度$s$满足$3 \leq s \leq n$的Berge回路。
• 采用Lagrangian方法，最大化避免Berge回路和路径的$k$-uniform超图的Lagrangian。
• 分析Berge-$C_t$-free和Berge-$P_t$-free超图的极值结构，推导其Lagrangian的紧上界。
• 利用已知的图论Turán型问题结果，并将其应用于Berge超图的语境。
• 使用Berge回路的概念，即一个顶点与超边的序列，其中每条边按顺序包含回路的顶点，以包含关系定义问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意有限正整数集$R$，确保$R$-uniform超图中存在Berge哈密顿回路的最小共度阈值是什么？
• RQ2 当$R = \{3\}$时，使得每个在$n$个顶点上且共度至少为1的3-uniform超图均包含哈密顿Berge回路的最小$n$是多少？
• RQ3 一个$k$-uniform超图不包含长度为$t$的Berge回路时，其最大Lagrangian是多少？
• RQ4 一个$k$-uniform超图不包含长度为$t$的Berge路径时，其最大Lagrangian是多少？
• RQ5 Berge-$C_t$-free和Berge-$P_t$-free超图的极值结构如何与其Lagrangian值相关？

主要发现

• 对于任意有限正整数集$R$，存在一个整数$n_0(R)$，使得每个在$n \geq n_0(R)$个顶点上的$R$-uniform超图，若其最小共度$\delta_2(\mathcal{H}) \geq 1$，则包含所有长度$s$满足$3 \leq s \leq n$的Berge回路$C_s$。
• 在特定情形$R = \{3\}$下，每个在$n \geq 7$个顶点上且共度至少为1的3-uniform超图均包含哈密顿Berge回路。
• Berge-$C_t$-free $k$-uniform超图的最大Lagrangian由共度条件导出的极值结构决定。
• Berge-$P_t$-free $k$-uniform超图的最大Lagrangian亦通过相同的极值方法进行刻画。
• 结果为避免指定长度Berge回路和路径的超图提供了Lagrangian的紧上界。
• 研究结果将经典极值图论扩展至Berge超图设定，尤其在共度条件和Lagrangian最大化方面。