[论文解读] Minimum Coprime Labelings for Operations on Graphs

John Asplund, N. Bradley Fox|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了不具備質數標籤的圖形之最小互質數，記為 𝔪𝔠(G)，其中相鄰頂點必須使用相對互質的標籤，且最大標籤盡可能小。本文分析了圖形運算如併集、連接、冠圖與路徑及環的冪運算，推導出非質數情況下 𝔪𝔠(G) 的精確公式，例如奇環併集、路徑與環的連接，以及完全圖與小空圖的冠圖，主要結果顯示 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 及 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ，於特定條件下成立。

ABSTRACT

A prime labeling of a graph of order $n$ is a labeling of the vertices with the integers $1$ to~$n$ in which adjacent vertices have relatively prime labels. A coprime labeling maintains the same criterion on adjacent vertices using any set of distinct positive integers. In this paper, we consider several families of graphs or products of graphs that have been shown to not have prime labelings and answer the natural question of how to label the vertices while minimizing the largest value in its set of labels.

研究动机与目标

• 確定不具備質數標籤之圖形的最小互質數 𝔪𝔠(G)，超越標準 {1,…,n} 標籤。
• 分析圖形運算如不相交併集、連接、冠圖與圖形冪運算（例如 G², G³）在路徑與環上的應用。
• 解決非質數圖形家族中最小互質標籤的開放問題，包括奇環併集、路徑-環連接，以及完全圖的冠圖。
• 改善樹圖與格圖之 𝔪𝔠(G) 的界，並探討完全二分圖 Kₘ,ₙ 與 Kₙ,ₙ 的公式。
• 提出並研究 Kₙ⊙K̄ₘ 及其他非質數圖形家族之最小互質數的猜測。

提出的方法

• 使用基於質數與互質序列的組合標籤策略，為頂點分配相異的正整數。
• 應用相鄰頂點必須具有相對互質標籤的原則，以最小化所用最大標籤。
• 運用質數間隔與密度的定理（例如 (14/13)⁹ < 2）以確保構造序列中標籤的互質性。
• 透過保留奇數並調整質數標籤，避免高degree頂點產生衝突。
• 利用已知的路徑、環及其運算之質數性結果，推導界與精確值。
• 運用對稱性與奇偶性論證（例如 (−1)ᵐ）以根據連接與併集中圖形階數的奇偶性處理各情況。

实验结果

研究问题

• RQ1 當圖形連接 Pₘ+Pₙ 不具備質數標籤時，其最小互質數為何？
• RQ2 能否為非質數情況下兩環連接 Cₘ+Cₙ 的最小互質數推導出精確公式？
• RQ3 當質數標籤不存在時，Kₙ⊙K̄ₘ 的最小互質數為何？
• RQ4 能否確定路徑與環之高次冪（Gᵏ，k≥4）的最小互質數？
• RQ5 當質數標籤不可能時，是否存在 𝔪𝔠(Kₘ,ₙ) 的一般公式，特別是針對完全二分圖？

主要发现

• 對於滿足 m≥n 的兩路徑連接 Pₘ+Pₙ，其最小互質數為 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2，其精確值取決於 m 的奇偶性。
• 對於滿足 m≥n 且 n≤10 或 n≥5 時 m>118 的兩環連接 Cₘ+Cₙ，其最小互質數為 𝔪𝔠(Cₘ+Cₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ。
• 對於環與路徑的連接 Cₘ+Pₙ，當 m≥n 時，其最小互質數為 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = m+2n−1−(−1)ᵐ；當 n>m 時，其最小互質數為 𝔪𝔠(Cₘ+Pₙ) = n+2m−2+(1−(−1)ᵐ)/2。
• 對於滿足 m=1 或 2 的冠圖 Kₙ⊙K̄ₘ，本文推導出 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) 的界與猜測，其中特定猜測認為 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = pₙ₋₁ 當 mn≤pₙ₋₁−n−1 時成立，否則 𝔪𝔠(Kₙ⊙K̄ₘ) = mn+n+1。
• 本文確認，使用奇數與調整後質數的標籤策略可產生 Pₘ 的最小互質標籤，當 m≥10 時，所有奇數標籤均小於所用最大奇質數。
• 猜測 28 提出 𝔪𝔠(Pₘ+Pₙ) = m+2n−2+(1−(−1)ᵐ)/2 對所有 m≥n 成立，暗示路徑連接的通用公式，超越已證明之情況。