[论文解读] Minimum Cost Homomorphisms to Locally Semicomplete and Quasi-Transitive Digraphs

Arvind Gupta, Gregory Gutin+3 more|ArXiv.org|Dec 5, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文为局部半完全图和准传递有向图上的最小代价同态问题（MinHOM）建立了完整的二分法。通过利用这些图类的结构图论，作者证明：当H的每个连通分量为无环或有向环（针对局部半完全图）时，MinHOM(H)可在多项式时间内求解；或当其满足特定结构约束（包括为C₃的扩展，或具有适当的区间二部图底层结构且不包含诱导Oᵢ障碍的无环图，针对准传递图）时，问题可多项式时间求解；否则，该问题为NP-难。

ABSTRACT

For digraphs $G$ and $H$, a homomorphism of $G$ to $H$ is a mapping $f:\ V(G)\dom V(H)$ such that $uv\in A(G)$ implies $f(u)f(v)\in A(H)$. If, moreover, each vertex $u \in V(G)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of a homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(G)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed digraph $H$, the minimum cost homomorphism problem for $H$, denoted MinHOM($H$), can be formulated as follows: Given an input digraph $G$, together with costs $c_i(u)$, $u\in V(G)$, $i\in V(H)$, decide whether there exists a homomorphism of $G$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. Minimum cost homomorphism problems encompass (or are related to) many well studied optimization problems such as the minimum cost chromatic partition and repair analysis problems. We focus on the minimum cost homomorphism problem for locally semicomplete digraphs and quasi-transitive digraphs which are two well-known generalizations of tournaments. Using graph-theoretic characterization results for the two digraph classes, we obtain a full dichotomy classification of the complexity of minimum cost homomorphism problems for both classes.

研究动机与目标

• 对局部半完全图和准传递有向图的最小代价同态问题（MinHOM）的计算复杂性进行分类。
• 将现有关于完全图和完全多部图有向图的二分法结果，扩展至更广泛的图类，这些图类推广了竞赛图。
• 精确识别出决定MinHOM(H)是否为多项式时间可解或NP-难的H的结构条件。
• 利用局部半完全图和准传递图的图论特征，推导出复杂性二分法。

提出的方法

• 应用结构图论来刻画局部半完全图和准传递图，特别关注环、连通性及邻接模式。
• 使用禁止子图刻画，包括Oᵢ障碍（i=1,2,3,4），以定义可解性的必要与充分条件。
• 通过诱导子有向图同构（如H₁、H₂）将问题约化至已知的NP-难情形，以证明NP-难性。
• 利用准传递性和局部完全性来约束顶点邻接关系，并在非平凡情形下导出矛盾。
• 通过分析分量结构（无环、有向环，或具有特定底层二部图的C₃扩展）来证明二分法。
• 使用引理和情形分析表明，任何对可解类的偏离都会通过约化至已知难解实例而导出NP-难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些局部半完全有向图H，最小代价同态问题为多项式时间可解？
• RQ2 准传递有向图H的何种结构特性决定了MinHOM(H)的可解性？
• RQ3 是否存在禁止子图，可刻画这些有向图类中MinHOM(H)的NP-难实例？
• RQ4 能否利用结构图论，对局部半完全图和准传递有向图的MinHOM(H)复杂性进行完全分类？

主要发现

• 对于局部半完全有向图H，MinHOM(H)为多项式时间可解，当且仅当其每个连通分量均为无环或有向环Cₖ（k ≥ 2）。
• 对于准传递有向图，若每个连通分量H′为C₂、C₃的扩展，或为无环图，且B(H′)为适当区间二部图，且H′不包含诱导Oᵢ（i=1,2,3,4）时，MinHOM(H)为多项式时间可解。
• 在任一类中，只要偏离上述结构条件，MinHOM(H)即为NP-难，此结论通过约化至已知难解子有向图H₁和H₂得以证明。
• Oᵢ障碍（i=1,2,3,4）在准传递情形下是关键的禁止子图，其存在即意味着NP-难性。
• 该证明依赖于这样一个事实：准传递性和局部完全性对顶点邻接关系施加了如此严格的约束，以至于仅特定配置才允许可解解法。