[论文解读] Minimum Cost Homomorphisms to Proper Interval Graphs and Bigraphs

Gregory Gutin, Pavol Hell+2 more|ArXiv.org|Feb 10, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文建立了允许环的图上最小代价同态问题（MinHOM）的二分法，证明当H的每个连通分量都是有环的正规区间图或无环的正规区间二部图时，MinHOM(H)可在多项式时间内求解；否则，该问题为NP-难。该结果解决了长期存在的开放问题，并通过向无环情形的约化，为正规区间二部图提供了新的刻画方式。

ABSTRACT

For graphs $G$ and $H$, a mapping $f: V(G)\dom V(H)$ is a homomorphism of $G$ to $H$ if $uv\in E(G)$ implies $f(u)f(v)\in E(H).$ If, moreover, each vertex $u \in V(G)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(G)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed graph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem}, written as MinHOM($H)$. The problem is to decide, for an input graph $G$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(G), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $G$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. Minimum cost homomorphism problems encompass (or are related to) many well studied optimization problems. We describe a dichotomy of the minimum cost homomorphism problems for graphs $H$, with loops allowed. When each connected component of $H$ is either a reflexive proper interval graph or an irreflexive proper interval bigraph, the problem MinHOM($H)$ is polynomial time solvable. In all other cases the problem MinHOM($H)$ is NP-hard. This solves an open problem from an earlier paper. Along the way, we prove a new characterization of the class of proper interval bigraphs.

研究动机与目标

• 对所有允许环的固定图H，分类最小代价同态问题（MinHOM(H)）的计算复杂性。
• 解决图同态中带顶点代价的MinHOM(H)二分法的开放问题。
• 通过结构约化，为正规区间二部图提供新的刻画方式。
• 通过将有环情形约化为无环情形，将复杂性分类从无环图推广到一般图（包括有环和混合情形）。
• 建立完整的二分法：MinHOM(H)要么属于P，要么属于NP-完全，具体取决于H的结构。

提出的方法

• 作者将MinHOM(H)定义为从输入图G到固定图H的同态问题，目标是最小化与每个映射f(u) ∈ V(H)关联的顶点代价之和。
• 他们使用约化技术，将有环图H转换为二分无环图H*，使得H为正规区间图当且仅当H*为正规区间二部图。
• 证明依赖于图论结构，特别是通过禁止的诱导子图（如爪形图、网图、帐篷图及长度≥4的环）刻画正规区间二部图。
• 对于NP-难性的证明，他们从独立集问题约化，表明若H不是正规区间二部图，则MinHOM(H)为NP-完全。
• 他们应用了关于列表同态和约束满足问题的已知结果以支持二分法，特别是利用了Bulatov关于有向图列表同态的结果。
• 通过证明当且仅当H的每个连通分量都是有环的正规区间图或无环的正规区间二部图时，MinHOM(H)为多项式时间可解，完成分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图H，当允许环时，最小代价同态问题MinHOM(H)可在多项式时间内求解？
• RQ2 H的何种结构特性决定了MinHOM(H)的可 tractability 或不可 tractability？
• RQ3 能否将MinHOM(H)的复杂性分类从无环图推广到一般图（包括有环和混合图）？
• RQ4 是否存在一个完整的二分法，使得对每个固定的H，MinHOM(H)要么属于P，要么属于NP-完全？
• RQ5 能否通过向无环情形的约化，为正规区间二部图推导出新的刻画方式？

主要发现

• MinHOM(H)当且仅当H的每个连通分量都是有环的正规区间图或无环的正规区间二部图时，为多项式时间可解。
• 对于所有其他允许环的图H，包括非正规区间图或非正规区间二部图的图，该问题为NP-难。
• 通过不存在诱导爪形图、网图、帐篷图及长度至少为四的环，为正规区间二部图建立了新的刻画方式。
• 从有环图H到二分图H*的约化保持了MinHOM(H)的复杂性，使得可通过无环情形对有环情形进行分类。
• 该二分法结果解决了文献中关于最小代价同态问题的开放问题。
• 该分类是紧致的：不存在其他图类可使MinHOM(H)为多项式时间可解。