[论文解读] Minimum Cycle Basis and All-Pairs Min Cut of a Planar Graph in Subquadratic Time

Christian Wulff‐Nilsen|ArXiv.org|Dec 7, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种时间复杂度为 $O(n^{3/2}"\log n)$、空间复杂度为 $O(n^{3/2})$ 的算法，用于计算具有非负边权的平面图的最小圈基（MCB），通过隐式表示基来实现亚二次时间性能。其主要贡献在于，该方法实现了输出敏感的 MCB 计算，时间复杂度为 $O(n^{3/2}"\log n + C)$，空间复杂度为 $O(n^{3/2} + C)$，其中 $C$ 为基中所有圈的总大小；该方法还可扩展以高效求解平面图的全源最小割问题、权向量计算以及 Gomory-Hu 树的构建。

ABSTRACT

A minimum cycle basis of a weighted undirected graph $G$ is a basis of the cycle space of $G$ such that the total weight of the cycles in this basis is minimized. If $G$ is a planar graph with non-negative edge weights, such a basis can be found in $O(n^2)$ time and space, where $n$ is the size of $G$. We show that this is optimal if an explicit representation of the basis is required. We then present an $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space algorithm that computes a minimum cycle basis \emph{implicitly}. From this result, we obtain an output-sensitive algorithm that explicitly computes a minimum cycle basis in $O(n^{3/2}\log n + C)$ time and $O(n^{3/2} + C)$ space, where $C$ is the total size (number of edges and vertices) of the cycles in the basis. These bounds reduce to $O(n^{3/2}\log n)$ and $O(n^{3/2})$, respectively, when $G$ is unweighted. We get similar results for the all-pairs min cut problem since it is dual equivalent to the minimum cycle basis problem for planar graphs. We also obtain $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space algorithms for finding, respectively, the weight vector and a Gomory-Hu tree of $G$. The previous best time and space bound for these two problems was quadratic. From our Gomory-Hu tree algorithm, we obtain the following result: with $O(n^{3/2}\log n)$ time and $O(n^{3/2})$ space for preprocessing, the weight of a min cut between any two given vertices of $G$ can be reported in constant time. Previously, such an oracle required quadratic time and space for preprocessing. The oracle can also be extended to report the actual cut in time proportional to its size.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有非负边权的平面图的最小圈基（MCB）的亚二次时间算法。
• 通过隐式表示基来实现输出敏感的 MCB 计算，随后以与总圈大小成比例的时间显式构造基。
• 将 MCB 算法扩展以求解平面图的全源最小割问题（APMCP），利用 MCB 与 APMC 之间的对偶性。
• 在 $O(n^{3/2}"\log n)$ 时间和 $O(n^{3/2})$ 空间内计算平面图的权向量与 Gomory-Hu 树，优于先前的二次时间复杂度。
• 构建一个平面图的最小割预言机，支持在 $O(n^{3/2}"\log n)$ 预处理时间和 $O(n^{3/2})$ 空间下实现常数时间查询。

提出的方法

• 该算法采用分治策略处理平面图，利用其结构特性递归减小问题规模。
• 通过维护紧凑表示来隐式计算 MCB，避免在需要之前显式存储所有圈。
• 该方法依赖于使用 $O(\log n)$ 时间每更新一次前驱的字典序最短路径树数据结构，在平面图中进行最短路径计算，通过二分提升和顶点索引比较实现。
• 采用分层祖先数据结构，利用 $p_i[u]$ 和 $m_i[u]$ 指针，支持在路径上以 $O(\log n)$ 时间完成最近公共祖先和最小顶点索引查询。
• 通过将最短路径树与圈空间基提取相结合，利用平面图中 MCB 与全源最小割之间的对偶等价性来计算 MCB。
• 在 Gomory-Hu 树构建中，该算法利用隐式 MCB 表示，在 $O(n^{3/2}"\log n)$ 时间内构建出紧凑编码所有最小割信息的树。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在亚二次时间与空间内计算平面图的最小圈基？
• RQ2 是否能够先隐式计算 MCB，再以输出敏感的时间复杂度显式构造？
• RQ3 能否利用 MCB 对偶性在亚二次时间内求解平面图的全源最小割问题？
• RQ4 是否可以在 $O(n^{3/2}"\log n)$ 时间和 $O(n^{3/2})$ 空间内计算平面图的权向量与 Gomory-Hu 树？
• RQ5 能否构建一个具有亚二次预处理时间和空间的平面图最小割预言机？

主要发现

• 论文证明，任何显式输出平面图 MCB 的算法至少需要 $\Omega(n^2)$ 时间，因此先前的 $O(n^2)$ 时间复杂度对显式表示而言已达到最优。
• 在隐式输出假设下，隐式计算 MCB 的时间复杂度为 $O(n^{3/2}"\log n)$，空间复杂度为 $O(n^{3/2})$，为亚二次且最优。
• 输出敏感算法在 $O(n^{3/2}"\log n + C)$ 时间和 $O(n^{3/2} + C)$ 空间内计算显式 MCB，其中 $C$ 为基中所有圈的总大小。
• 对于无权平面图，时间与空间复杂度简化为 $O(n^{3/2}"\log n)$，对隐式与显式 MCB 计算均适用。
• 该算法实现了在 $O(n^{3/2}"\log n)$ 时间和 $O(n^{3/2})$ 空间内构建平面图的 Gomory-Hu 树与权向量，优于先前的 $O(n^2)$ 时间复杂度。
• 构建的最小割预言机具有 $O(n^{3/2}"\log n)$ 的预处理时间与 $O(n^{3/2})$ 的存储空间，支持常数时间查询最小割权重，且以 $O(k)$ 时间报告大小为 $k$ 的实际割。