[论文解读] Minimum Degree of the Difference of Two Polynomials over $\mathbb Q$. Part II: Davenport-Zannier pairs

Fedor Pakovich, Alexander K. Zvonkin|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文通过计算对应于单位树（unitrees）——由其顶点度数划分唯一确定的加权二分平面树——的所有多项式，完成了具有有理系数的Davenport–Zannier对的分类。利用dessins d'enfants对应关系，作者为所有10个无穷系列（A–J）和10个孤立情况（K–T）导出显式多项式表达式，证明其有理性和伽罗瓦不变性，从而解决了ℚ上多项式差的最小次数问题。

ABSTRACT

In this paper we study pairs of polynomials with a given factorization pattern and such that the degree of their difference attains its minimum. We call such pairs of polynomials Davenport--Zannier pairs, or DZ-pairs for short. The paper is devoted to the study of DZ-pairs with rational coefficients. In our earlier paper, in the framework of the theory of dessins d'enfants, we established a correspondence between DZ-pairs and weighted bicolored plane trees. These are bicolored plane trees whose edges are endowed with positive integral weights. When such a tree is uniquely determined by the set of black and white degrees of its vertices, it is called unitree, and the corresponding DZ-pair is defined over $\mathbb Q$. In our earlier paper, we classified all unitrees. In this paper, we compute all the corresponding polynomials. In the final part of the paper we present some additional material concerning the Galois theory of DZ-pairs and weighted trees.

研究动机与目标

• 计算所有对应于单位树的多项式，单位树是其顶点度数划分唯一确定的加权二分平面树。
• 确立与单位树相关的Davenport–Zannier对在ℚ上定义，扩展先前工作的分类。
• 分析伽罗瓦群对DZ-对及其对应加权树的作用，识别不变量与分裂行为。
• 为所有无穷系列A–J和孤立情况K–T中的DZ-对提供显式解析表达式。
• 探讨最小次数条件被放宽的情形，揭示尽管差的次数非最小，仍可获得有理系数解。

提出的方法

• 利用Davenport–Zannier对与具有指定顶点度数的加权二分平面树之间的dessins d'enfants对应关系。
• 以先前工作[17]中单位树的分类为基础，构建所有有理DZ-对。
• 通过Belyi函数与对称有理映射，为每个DZ-对导出显式多项式表达式。
• 通过检查其根与系数是否属于ℚ，验证所构造多项式的有理性。
• 通过研究树上的单值群作用与组合轨道的分裂行为，分析伽罗瓦不变量。
• 通过树的修改与立方构造，构建差次数非最小但具有有理系数的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有有理系数的Davenport–Zannier对对应于单位树，其显式多项式形式为何？
• RQ2 伽罗瓦群如何作用于DZ-对及其相关加权树，该作用下涌现出哪些不变量？
• RQ3 当差的次数超过理论最小值时，能否构造出有理DZ-对，其条件为何？
• RQ4 为何某些具有相同护照的加权树在对称性被打破时，仍能产生在ℚ上定义的DZ-对？
• RQ5 树的组合轨道在决定DZ-对的定义域方面起什么作用，特别是在伽罗瓦作用分裂的情况下？

主要发现

• 所有对应于10个无穷系列（A–J）和10个孤立树（K–T）的Davenport–Zannier对均已显式构造，并证明其在ℚ上定义。
• 对于护照(9⁵, 5⁹)的DZ-对，尽管所有已知伽罗瓦不变量均无法解释，其仍定义在ℚ上。
• 一个护照为(k², 4¹1²ᵏ⁻⁴)的无限棵树族产生两棵非同构的树——一棵对称，一棵不对称——每棵均给出在ℚ上定义的DZ-对。
• 当k=7时，构造出差次数为9（超过最小值k+1=8）的DZ-对，且A与B均在ℚ上定义。
• 当k=6时，构造出差多项式具有重根（次数9 > 最小值7）的DZ-对，且显式给出有理系数。
• 给出了(k², 4¹1²ᵏ⁻⁴)族中对称与不对称树的Belyi函数，并通过在x=0处导数为零验证其正确性。