[论文解读] Minimum Enclosing Polytope in High Dimensions

Rina Panigrahy‎|ArXiv.org|Jul 8, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 35

一句话总结

本论文提出了一种贪心迭代算法，用于在高维空间中计算给定凸形状的最小包围多面体，仅允许平移或绕固定点旋转。该算法在 O(nd/ε) 和 2^{O(1/ε² log(1/ε))}nd 时间内分别实现了最小包围球和圆柱体的 (1+ε)-近似解，并证明了此类问题存在大小为 O(1/ε²) 的核心集。

ABSTRACT

We study the problem of covering a given set of $n$ points in a high, $d$-dimensional space by the minimum enclosing polytope of a given arbitrary shape. We present algorithms that work for a large family of shapes, provided either only translations and no rotations are allowed, or only rotation about a fixed point is allowed; that is, one is allowed to only scale and translate a given shape, or scale and rotate the shape around a fixed point. Our algorithms start with a polytope guessed to be of optimal size and iteratively moves it based on a greedy principle: simply move the current polytope directly towards any outside point till it touches the surface. For computing the minimum enclosing ball, this gives a simple greedy algorithm with running time $O(nd/\eps)$ producing a ball of radius $1+\eps$ times the optimal. This simple principle generalizes to arbitrary convex shape when only translations are allowed, requiring at most $O(1/\eps^2)$ iterations. Our algorithm implies that {\em core-sets} of size $O(1/\eps^2)$ exist not only for minimum enclosing ball but also for any convex shape with a fixed orientation. A {\em Core-Set} is a small subset of $poly(1/\eps)$ points whose minimum enclosing polytope is almost as large as that of the original points. Although we are unable to combine our techniques for translations and rotations for general shapes, for the min-cylinder problem, we give an algorithm similar to the one in \cite{HV03}, but with an improved running time of $2^{O(\frac{1}{\eps^2}\log \frac{1}{\eps})} nd$.

研究动机与目标

• 开发高效的近似算法，用于计算高维空间中给定凸形状的最小包围多面体。
• 在仅允许平移或仅允许绕固定点旋转的受限变换下解决该问题。
• 证明对于具有固定方向或旋转对称性的最小包围多面体，存在大小为 O(1/ε²) 的小规模核心集。
• 改进现有算法在最小包围圆柱体和 k-平面问题上的运行时间。
• 将贪心移动原则——直接朝未覆盖点移动多面体——推广至任意凸形状，而不仅限于最小包围球。

提出的方法

• 该算法采用贪心策略：在每一步中，将当前多面体直接朝最远的未覆盖点移动，直到其触及边界。
• 对于最小包围球，通过在每一步中将球体朝最远点移动，该算法在 O(nd/ε) 时间内运行。
• 对于仅允许平移的任意凸形状，该方法最多需要 O(1/ε²) 次迭代，并利用势函数证明收敛性。
• 对于旋转问题（如圆柱体、圆锥体、椭球体），方法被限制在包含固定旋转点的半空间内，并通过在候选轴位置上进行网格搜索。
• 该算法在半径上使用二分查找，以在 (1+ε) 因子内确定最优半径。
• 该算法的确定性版本通过在每次迭代中对 O(1/ε²) 个网格点进行穷举搜索，消除了随机猜测，从而在最小圆柱体问题上实现了 2^{O(1/ε² log(1/ε))}nd 的运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于直接朝未覆盖点移动的简单贪心算法，是否能在高维空间中实现最小包围多面体的 (1+ε)-近似？
• RQ2 当仅允许绕固定点旋转时，计算最小包围圆柱体的计算复杂度是多少？
• RQ3 对于具有固定方向或旋转对称性的最小包围多面体，是否存在大小为 O(1/ε²) 的核心集？
• RQ4 能否利用该贪心框架改进现有算法在最小包围圆柱体和 k-平面问题上的运行时间？
• RQ5 是否可以将平移与旋转技术结合用于一般凸形状，还是此类组合仅限于圆柱体等特殊情况？

主要发现

• 该算法通过贪心移动策略，在 O(nd/ε) 时间内计算出最小包围球的 (1+ε)-近似解。
• 对于仅允许平移的任意凸形状，该算法最多需要 O(1/ε²) 次迭代，并证明了存在大小为 O(1/ε²) 的核心集。
• 对于受限于半空间的旋转问题，该算法在 2^{O(1/ε²)}nd 时间内运行，并为具有对称性的形状（如圆柱体和椭球体）建立了核心集的存在性。
• 对于最小包围圆柱体问题，该算法实现了 2^{O(1/ε² log(1/ε))}nd 的运行时间，优于先前的 2^{O(1/ε³ log²(1/ε))}nd 上界。
• 该方法可推广至在时间 exp(e^{O(k²)}/ε² log(1/ε))nd 内计算最小半径的 k 维平面，且指数部分也得到类似改进。
• 当半径足够大时，该算法保证在 O(1/ε²) 次迭代内终止，且通过 log(1/ε) 次二分查找试验，可确保半径在最优值的 (1+ε) 因子内。