[论文解读] Minimum Fault-Tolerant, local and strong metric dimension of graphs

Muhammad Salman, Imran Javaid+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文通过引入故障容错和局部度量维数问题的整数线性规划（ILP）公式，研究了两类凸多面体 $S_n$ 和 $U_n$ 的最小故障容错性、局部性和强度度量维数。研究结果表明，当 $n=2k$（$k \geq 2$）时，$U_n$ 的强度度量维数恰好为 $\frac{5n}{2}$，并证明了 $U_n$ 的局部度量维数为 2，而 $S_n$ 在 $n \geq 3$ 时的局部度量维数也为 2。这些结论通过在这些图中对最短路径和分辨集性质的严格分析推导得出。

ABSTRACT

In this paper, we consider three similar optimization problems: the fault-tolerant metric dimension problem, the local metric dimension problem and the strong metric dimension problem. These problems have applications in many diverse areas, including network discovery and verification, robot navigation and chemistry, etc. We give integer linear programming formulations of the fault-tolerant metric dimension problem and the local metric dimension problem. Also, we study local metric dimension and strong metric dimension of two convex polytopes $S_n$ and $U_n$.

研究动机与目标

• 为故障容错度量维数问题和局部度量维数问题开发整数线性规划（ILP）公式。
• 确定当 $n=2k$，$k \geq 2$ 时，凸多面体 $U_n$ 的强强度度量维数。
• 计算 $U_n$ 和 $S_n$ 的局部度量维数，证明当 $n \geq 3$ 时其值为 2。
• 通过分析 $S_n$ 和 $U_n$ 中的最短路径结构，推导度量维数的下界和上界。

提出的方法

• 将故障容错度量维数问题建模为整数线性规划（ILP），以最小化在移除任意单个顶点后仍保持分辨能力的分辨集大小。
• 将局部度量维数问题建模为 ILP，以最小化能够分辨所有相邻顶点对的集合大小。
• 利用最短路径分析验证特定顶点子集可分辨 $S_n$ 和 $U_n$ 中的所有顶点对。
• 通过应用 $U_n$ 中直径和距离的性质，推导强强度度量维数的下界。
• 通过验证特定顶点存在于所有顶点对之间的最短路径中，证明其可强分辨某对顶点。
• 通过引理建立紧致界，证明特定顶点集在强分辨中既必要又充分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $U_n$ 和 $S_n$ 中，故障容错分辨集的最小大小是多少？
• RQ2 $S_n$ 和 $U_n$ 这类凸多面体的局部度量维数是多少？
• RQ3 当 $n=2k$，$k \geq 2$ 时，$U_n$ 的强强度度量维数是多少？
• RQ4 $S_n$ 和 $U_n$ 中的最短路径结构如何决定顶点子集的分辨性质？
• RQ5 ILP 公式能否有效用于建模和求解如凸多面体这类结构化图中的度量维数问题？

主要发现

• 当 $n=2k$，$k \geq 2$ 时，$U_n$ 的强强度度量维数恰好为 $\frac{5n}{2}$，该结论由下界和上界引理共同证明。
• $U_n$ 的局部度量维数为 2，该结论基于 $U_n$ 非二分图且存在 2 元局部分辨集的事实。
• $S_n$ 在 $n \geq 3$ 时的局部度量维数也为 2，原因在于存在 2 元局部分辨集且其图结构非二分图。
• 当 $n=2k$，$k \geq 2$ 时，$U_n$ 存在大小为 $\frac{5n}{2}$ 的故障容错分辨集，且该大小为最小。
• 故障容错和局部度量维数的 ILP 公式已正式定义，可支持这些参数的算法计算。
• 分析确认，当 $n$ 为偶数时，$a_i$、$c_i$ 和 $d_{i'}$ 顶点构成 $U_n$ 中大小为 $\frac{5n}{2}$ 的强分辨集。