[论文解读] Minimum Hidden Guarding of Histogram Polygons

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文提出了一种线性时间的几何算法，用于在正交可见性下计算直方图多边形中隐藏守卫的最小数量，其中守卫彼此不可见。通过将多边形分解为 r-星子多边形，并在它们的核内非重叠矩形中放置守卫，该算法在 O(n) 时间和空间内实现了最优覆盖。

ABSTRACT

A hidden guard set $ G $ is a set of point guards in polygon $ P $ that all points of the polygon are visible from some guards in $ G $ under the constraint that no two guards may see each other. In this paper, we consider the problem for finding minimum hidden guard sets in histogram polygons under orthogonal visibility. Two points $ p $ and $ q $ are orthogonally visible if the orthogonal bounding rectangle for $ p $ and $ q $ lies within $ P $. It is known that the problem is NP-hard for simple polygon with general visibility and it is true for simple orthogonal polygon. We proposed a linear time exact algorithm for finding minimum hidden guard set in histogram polygons under orthogonal visibility. In our algorithm, it is allowed that guards place everywhere in the polygon.

研究动机与目标

• 在正交可见性下解决直方图多边形中的最小隐藏守卫集问题，其中任意两个守卫不可相互看见。
• 开发一种纯粹的几何算法，避免依赖于先前研究中常见的图论模型。
• 为该特定多边形类别的隐藏守卫问题实现最优的时间和空间复杂度。
• 将几何方法扩展至单调多边形的标准正交博物馆问题，作为隐藏变体的基础。
• 为解决更一般类别的简单正交多边形（含或不含洞）中的隐藏正交博物馆问题提供基础。

提出的方法

• 基于上链的水平和垂直边，将直方图多边形分解为垂直矩形分量。
• 对于其端点处具有 270° 和 90° 角的每条水平边，定义一个矩形 (si_i)，从该边下方的某点延伸到上方的某点，确保其完全包含在多边形内部。
• 在每个此类矩形 si_i 内放置一个守卫，确保由于可见区域不重叠，守卫之间彼此不可见。
• 使用类似扫描线的策略，在 O(n) 时间内处理边，维护 y1 和 y2 两个 y 水平，以定义守卫放置区域。
• 利用每个矩形 si_i 位于金字塔子多边形的核内的事实，保证守卫能完全看到该子多边形。
• 通过证明守卫数量等于最小常规守卫集大小（基于先前的算法结果建立）来证明最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正交可见性下，直方图多边形中的最小隐藏守卫集能否在 O(n) 时间内计算？
• RQ2 是否存在一种纯粹的几何方法来解决隐藏守卫问题，避免图论约化，并产生最优解？
• RQ3 r-星子多边形的核与正交可见性下非可见守卫的布置之间存在何种关系？
• RQ4 直方图多边形的几何分解能否为隐藏正交博物馆问题提供线性时间解法？
• RQ5 与现有类似问题的方法相比，所提出算法的时间和空间复杂度如何？

主要发现

• 所提出的算法在 O(n) 时间和 O(n) 空间内计算出最小隐藏守卫集，实现了直方图多边形的最优效率。
• 该算法是纯粹几何的，不依赖于可见性图或 NP-难约化，与先前方法形成鲜明区别。
• 所生成的守卫数量被证明是最优的，因为其大小与同一多边形的最小常规守卫集大小相等。
• 每个守卫均被放置在位于金字塔子多边形核内的矩形 (si_i) 中，从而确保能完全看到该子多边形。
• 通过证明矩形 si_i 两两之间不可见，该算法的正确性得以确立，满足隐藏守卫约束。
• 该方法为解决更广泛类别的正交多边形（含或不含洞）中的隐藏正交博物馆问题提供了基础，尽管这仍需未来工作进一步探索。