[论文解读] Minimum Latency Submodular Cover

Sungjin Im, Viswanath Nagarajan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 7

一句话总结

本文提出了最小延迟子模覆盖（MLSC）问题，这是子模排序和群斯坦纳树问题的度量推广，并提出了一种时间复杂度为 $ O(\log \frac{1}{\epsilon} \cdot \log^{2+\delta}|V|) $ 的多项式时间近似算法。此外，还为延迟覆盖斯坦纳树（LCST）问题给出了 $ O(\log^2|V|) $ 的近似比，为一种随机扩展给出了 $ O(\log \frac{1}{\epsilon}) $ 的近似比，所有结果均基于对子模排序问题中贪心算法的精细化分析。

ABSTRACT

We study the Minimum Latency Submodular Cover problem (MLSC), which consists of a metric $(V,d)$ with source $r\in V$ and $m$ monotone submodular functions $f_1, f_2, ..., f_m: 2^V ightarrow [0,1]$. The goal is to find a path originating at $r$ that minimizes the total cover time of all functions. This generalizes well-studied problems, such as Submodular Ranking [AzarG11] and Group Steiner Tree [GKR00]. We give a polynomial time $O(\log \frac{1}{\eps} \cdot \log^{2+δ} |V|)$-approximation algorithm for MLSC, where $ε>0$ is the smallest non-zero marginal increase of any $\{f_i\}_{i=1}^m$ and $δ>0$ is any constant. We also consider the Latency Covering Steiner Tree problem (LCST), which is the special case of \mlsc where the $f_i$s are multi-coverage functions. This is a common generalization of the Latency Group Steiner Tree [GuptaNR10a,ChakrabartyS11] and Generalized Min-sum Set Cover [AzarGY09, BansalGK10] problems. We obtain an $O(\log^2|V|)$-approximation algorithm for LCST. Finally we study a natural stochastic extension of the Submodular Ranking problem, and obtain an adaptive algorithm with an $O(\log 1/ \eps)$ approximation ratio, which is best possible. This result also generalizes some previously studied stochastic optimization problems, such as Stochastic Set Cover [GoemansV06] and Shared Filter Evaluation [MunagalaSW07, LiuPRY08].

研究动机与目标

• 将子模排序和群斯坦纳树问题统一为一种基于度量的、包含延迟成本的新问题。
• 通过引入度量距离，解决网页搜索和调度中的数据局部性和上下文切换等实际问题。
• 为MLSC设计一种时间复杂度为多项式的近似算法，其性能保证依赖于最小非零边际收益 $\epsilon$。
• 研究子模排序的随机变体，结合自适应调度，推导出紧致的近似比。
• 统一并扩展广义最小和集合覆盖、群斯坦纳树和随机优化中的技术。

提出的方法

• 将最小延迟子模覆盖（MLSC）问题作为子模排序的度量扩展提出，目标是最小化基于路径的覆盖时间。
• 提出时间区间的分层分解，并基于单位距离的边际收益选择规则来构建路径。
• 采用一种新颖的分析技术，通过参数 $\alpha = 1 + \ln \frac{1}{\epsilon}$ 限制每个函数的贡献，将性能与最小非零边际增长联系起来。
• 利用条件期望和子模性，下界估计算法相对于最优解的期望进展。
• 采用对偶匹配法和时间区间划分，将算法性能与最优解的覆盖速率相关联。
• 通过建模元素实现过程并采用自适应调度与期望代价分析，将该框架扩展至随机环境。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在一般度量空间中，为最小延迟子模覆盖问题设计一种具有理论保证的多项式时间近似算法？
• RQ2 LCST问题（作为MLSC在多覆盖函数下的特例）是否具有对数时间复杂度的近似解？
• RQ3 我们能否为随机子模排序问题获得紧致的近似比，且 $ O(\log \frac{1}{\epsilon}) $ 是否为最优？
• RQ4 子模排序中的技术在多大程度上可推广至度量和随机环境？
• RQ5 我们能否在一般度量空间中为随机MLSC问题获得对数时间复杂度的近似解？

主要发现

• 本文为MLSC问题实现了 $ O(\log \frac{1}{\epsilon} \cdot \log^{2+\delta}|V|) $ 的近似比，其中 $\epsilon$ 为最小非零边际收益，$\delta > 0$ 为任意常数。
• 对于延迟覆盖斯坦纳树（LCST）问题，获得了 $ O(\log^2|V|) $ 的近似比，该结果同时推广了延迟群斯坦纳树和广义最小和集合覆盖问题。
• 为随机子模排序问题实现了 $ O(\log \frac{1}{\epsilon}) $ 的近似比，且该结果被证明是紧致的。
• 分析表明，若能显著改进MLSC的近似比，则意味着对群斯坦纳树问题的改进，而后者是长期悬而未决的开放问题。
• 通过时间区间分解和对偶匹配法分析算法性能，关键界限通过子模性和条件期望推导得出。
• 结果表明，子模排序的贪心算法可被有效扩展至度量和随机环境，并具有强有力的理论保证。