[论文解读] Minimum ranks of sign patterns via sign vectors and duality

Marina Arav, Frank J. Hall+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，利用符号向量和对偶性来分析符号模式矩阵的最小秩。研究证明，对于任意 $m \times n$ 的符号模式矩阵，若其最小秩为 $n-2$，则其最小秩总是可以有理化实现；此外还表明，当 $n \geq 9$ 时，存在 $n \times m$ 的符号模式矩阵，其最小秩为 $n-3$，但无法有理化实现。本文还刻画了最小秩为 $n-1$ 的符号模式，并证明在 $\mathbb{R}^n$ 中，二维子空间的最大符号向量数为 $4n+1$。

ABSTRACT

A {\it sign pattern matrix} is a matrix whose entries are from the set $\{+,-, 0\}$. The minimum rank of a sign pattern matrix $A$ is the minimum of the ranks of the real matrices whose entries have signs equal to the corresponding entries of $A$. It is shown in this paper that for any $m imes n$ sign pattern $A$ with minimum rank $n-2$, rational realization of the minimum rank is possible. This is done using a new approach involving sign vectors and duality. It is shown that for each integer $n\geq 9$, there exists a nonnegative integer $m$ such that there exists an $n imes m$ sign pattern matrix with minimum rank $n-3$ for which rational realization is not possible. A characterization of $m imes n$ sign patterns $A$ with minimum rank $n-1$ is given (which solves an open problem in Brualdi et al. \cite{Bru10}), along with a more general description of sign patterns with minimum rank $r$, in terms of sign vectors of certain subspaces. A number of results on the maximum and minimum numbers of sign vectors of $k$-dimensional subspaces of $\mathbb R^n$ are obtained. In particular, it is shown that the maximum number of sign vectors of $2$-dimensional subspaces of $\mathbb R^n$ is $4n+1$. Several related open problems are stated along the way.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的关于刻画最小秩为 $n-1$ 的符号模式的问题。
• 建立符号模式矩阵最小秩可有理化实现的条件。
• 拓展对子空间符号向量及其极端基数的理解。
• 提供一种基于对偶性的新框架，用于分析符号模式矩阵中的最小秩问题。
• 解决关于 $m \times n$ 符号模式矩阵最小秩为 $n-1$ 的未解问题。
• 确定 $\mathbb{R}^n$ 中二维子空间可实现的最大符号向量数。
• 探究是否存在最小秩为 $n-3$ 且无法有理化实现的符号模式。

提出的方法

• 利用子空间的符号向量来刻画符号模式矩阵的最小秩。
• 应用子空间与其正交补之间的对偶性原理，分析符号向量集合。
• 利用压缩符号模式简化分析，同时保持最小秩的性质。
• 应用组合几何与射影几何的结果，对极端符号向量数量进行界定。
• 构造显式的符号模式矩阵，以证明符号向量基数的紧致界。
• 使用行最简形分析子空间中符号向量的独立性与结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下可保证符号模式矩阵的最小秩实现有理化？
• RQ2 对于最小秩为 $n-2$ 的 $m \times n$ 符号模式矩阵，其最小秩是否总是可以有理化实现？
• RQ3 对于哪些 $n \geq 9$，存在 $n \times m$ 的符号模式矩阵，其最小秩为 $n-3$ 但无法有理化实现？
• RQ4 在 $\mathbb{R}^n$ 中，二维子空间最多可实现多少个不同的符号向量？
• RQ5 如何利用符号向量与对偶性来刻画最小秩为 $n-1$ 的符号模式？
• RQ6 在 $\mathbb{R}^n$ 的 $k$-维子空间中，符号向量数量的极端值是什么？

主要发现

• 对于任意 $m \times n$ 的符号模式矩阵，若其最小秩为 $n-2$，则其最小秩总是可以有理化实现。
• 对于每个 $n \geq 9$，均存在一个 $n \times m$ 的符号模式矩阵，其最小秩为 $n-3$，但无法有理化实现。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中，二维子空间的最大符号向量数为 $4n+1$。
• $\mathbb{R}^n$ 中 $k$-维子空间的最小符号向量数为 $3^k$，当子空间由标准基向量张成时达到该值。
• 本文提供了 $m \times n$ 符号模式矩阵最小秩为 $n-1$ 的刻画，解决了 Brualdi等人 [6] 提出的未解问题。
• $\mathbb{R}^n$ 中 $(n-1)$-维子空间的最大符号向量数为 $3^n - 2(2^n - 1)$。