[论文解读] Minimum Restraint Functions for unbounded dynamics: general and control-polynomial systems

Anna Chiara Lai, Monica Motta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文引入了针对无界控制与非负运行代价最优控制问题的 p₀-最小约束函数，扩展了先前针对紧致控制集的结果。证明了此类函数可确保对目标集的全局渐近可控制性，并在 p₀ > 0 时提供状态相关的值函数上界，其应用涉及通过向量值多项式凸包分析的控制-多项式系统。

ABSTRACT

We consider an exit-time minimum problem with a running cost, $l\geq 0$ and unbounded controls. The occurrence of points where $l=0$ can be regarded as a transversality loss. Furthermore, since controls range over unbounded sets, the family of admissible trajectories may lack important compactness properties. In the first part of the paper we show that the existence of a $p_0$-minimum restraint function provides not only global asymptotic controllability (despite non-transversality) but also a state-dependent upper bound for the value function (provided $p_0>0$). This extends to unbounded dynamics a former result which heavily relied on the compactness of the control set. In the second part of the paper we apply the general result to the case when the system is polynomial in the control variable. Some elementary, algebraic, properties of the convex hull of vector-valued polynomials' ranges allow some simplifications of the main result, in terms of either near-affine-control systems or reduction to weak subsystems for the original dynamics.

研究动机与目标

• 将最小约束函数理论扩展至无界控制动力学，克服先前依赖紧致性假设的局限性。
• 为具有 l ≥ 0 和无界控制的退出时间最优控制问题，建立全局渐近可控制性的充分条件。
• 在 p₀ > 0 时，即使在缺乏横截性（允许 l=0）的情况下，推导出值函数 V(z) 的状态相关上界。
• 通过利用向量值多项式取值范围的凸包的代数性质，简化控制-多项式系统的分析。
• 使近仿射控制结构与弱子系统降阶方法在多项式控制系统中得以应用。

提出的方法

• 引入 p₀-最小约束函数 W 作为定义在 Ω∖C 上的连续、局部严格凹、正定且 proper 的函数，满足对所有 x ∈ Ω∖C 有 H_{l,f}(x,p₀,D*W(x)) < 0。
• 采用基于状态的时间重标度技术，将原问题转化为具有紧致化动力学的问题，依赖假设 A 保证 (l,f)/(1+|(l,f)|) 的一致连续性。
• 利用重标度后的动力学恢复构造轨迹所必需的紧致性性质，即使在控制无界时亦成立。
• 对于控制-多项式系统，通过单项式符号模式的组合对称性论证，分析 f(x,U_r) 的凸包。
• 证明 f₀(x) + w f_α(x) ∈ co f(x,U_r) 对于 w 属于对称区间成立，利用对称符号组合下乘积之和为零的性质。
• 通过证明多项式控制范围的凸包包含于有限个仿射组合的并集中，将问题约化为弱子系统，从而实现通过近仿射控制结构进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小约束函数的概念能否在不依赖控制集紧致性的前提下，推广至无界控制集？
• RQ2 当 l(x,u) = 0 在某些点成立时（即失去横截性），p₀-最小约束函数的存在是否仍能保证全局渐近可控制性？
• RQ3 在无界控制和运行代价消失的情况下，能否推导出值函数的状态相关上界？
• RQ4 如何简化向量值多项式控制范围的凸包，以降低最优控制分析的复杂度？
• RQ5 控制-多项式系统能否被约化为弱子系统或近仿射形式，以促进 p₀-最小约束函数的构造？

主要发现

• p₀-最小约束函数的存在性可保证对目标集 C 的全局渐近可控制性，即使在 l(x,u) = 0 的某些点也成立。
• 当 p₀ > 0 时，对所有 z ∈ Ω∖C，值函数满足 V(z) ≤ W(z)/p₀，从而提供连续的上界。
• 假设 A 确保了时间重标度所需的正则性，使得在无界控制问题中仍可应用紧致性论证。
• 对于控制-多项式系统，由于符号模式对称性平均的作用，f(x,U_r) 的凸包包含所有形如 f₀(x) + w f_α(x) 的项，其中 w 属于对称区间。
• 该方法可通过近仿射控制结构实现弱子系统降阶，从而简化多项式动力学的分析。
• 该结果适用于具有多项式、指数及利普希茨连续控制依赖关系的系统，显著拓展了其在非紧致控制集上的适用范围。