[论文解读] Minors for alternating dimaps

Graham Farr|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文为交替对映图（即每个顶点处入边与出边交替的可定向嵌入有向图）发展了一套次要理论，引入了三种由图灵对偶性关联的次要操作。研究建立了有界亏格结构的排除次要特征，证明了次要操作的非交换性，并定义了简单与扩展的图灵不变量，表明它们推广了平面图的图灵多项式。

ABSTRACT

We develop a theory of minors for alternating dimaps --- orientably embedded digraphs where, at each vertex, the incident edges (taken in the order given by the embedding) are directed alternately into, and out of, the vertex. We show that they are related by the triality relation of Tutte. They do not commute in general, though do in many circumstances, and we characterise the situations where they do. The relationship with triality is reminiscent of similar relationships for binary functions, due to the author, so we characterise those alternating dimaps which correspond to binary functions. We give a characterisation of alternating dimaps of at most a given genus, using a finite set of excluded minors. We also use the minor operations to define simple Tutte invariants for alternating dimaps and characterise them. We establish a connection with the Tutte polynomial, and pose the problem of characterising universal Tutte-like invariants for alternating dimaps based on these minor operations.

研究动机与目标

• 为交替对映图发展一套全面的次要理论，将经典图的次要概念扩展至可定向嵌入有向图。
• 研究次要操作的非交换性，并表征其交换的条件。
• 为有界亏格的交替对映图建立有限排除次要特征。
• 为交替对映图定义并分析简单与扩展的图灵不变量，将其与经典图灵多项式联系起来。
• 探讨是否可利用新的次要操作与对偶性结构，构造通用的图灵型不变量。

提出的方法

• 在交替对映图上引入三种次要操作——1-约化、ω-约化和ω²-约化，推广了删除与收缩操作。
• 证明这些操作满足类似于图与二元函数中图灵对偶性的对偶关系。
• 利用对偶性结构分析次要操作何时交换，识别出操作保持顺序无关性的条件。
• 应用次要操作，为任意固定g，推导出亏格不超过g的交替对映图的有限排除次要集。
• 通过基于边类型（环、余环等）的递归关系定义简单图灵不变量，并利用有序边约化定义扩展不变量。
• 通过证明在alt_c(H)或alt_a(H)上的不变量与边的顺序无关，将扩展图灵不变量与平面图的图灵多项式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为交替对映图定义并表征次要操作？其与对偶性的关系为何？
• RQ2 在何种条件下，交替对映图上的三种次要操作会交换？
• RQ3 能否用有限个排除次要特征表征有界亏格的交替对映图？
• RQ4 简单与扩展图灵不变量在交替对映图上的性质与局限性为何？
• RQ5 扩展图灵不变量在交替对映图上作为平面图图灵多项式的特例，其恢复程度如何？

主要发现

• 交替对映图上的三种次要操作满足类似于图灵理论及作者在二元函数研究中先前工作的对偶关系。
• 交替对映图上的次要操作一般不交换，但当涉及的边不属于同一面或星形结构时，操作会交换。
• 对于任意固定亏格g，亏格不超过g的交替对映图类具有有限排除次要特征。
• 简单图灵不变量在交替对映图上适用范围有限，其包含的信息量远少于图论或拟阵理论中的对应物。
• 通过有序边约化定义的扩展图灵不变量更为丰富，并将平面图的图灵多项式作为特例包含在内。
• 当底图H为4-正则且G = alt_c(H)时，由于每次约化后均存在ω²-环，扩展图灵不变量与边的顺序无关。