[论文解读] MIP*=RE

Zhengfeng Ji, Anand Natarajan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 33

一句话总结

本文证明 MIP*（entangled-prover 互动证明）等于 RE（递归可枚举语言），通过构造 Halting 问题的交互证明并使用压缩框架实现；因此，关联的 entangled-value 判定问题变得不可判定， Tsirelson 问题得到负面解答。

ABSTRACT

We show that the class MIP* of languages that can be decided by a classical verifier interacting with multiple all-powerful quantum provers sharing entanglement is equal to the class RE of recursively enumerable languages. Our proof builds upon the quantum low-degree test of (Natarajan and Vidick, FOCS 2018) and the classical low-individual degree test of (Ji, et al., 2020) by integrating recent developments from (Natarajan and Wright, FOCS 2019) and combining them with the recursive compression framework of (Fitzsimons et al., STOC 2019). An immediate byproduct of our result is that there is an efficient reduction from the Halting Problem to the problem of deciding whether a two-player nonlocal game has entangled value $1$ or at most $1/2$. Using a known connection, undecidability of the entangled value implies a negative answer to Tsirelson's problem: we show, by providing an explicit example, that the closure $C_{qa}$ of the set of quantum tensor product correlations is strictly included in the set $C_{qc}$ of quantum commuting correlations. Following work of (Fritz, Rev. Math. Phys. 2012) and (Junge et al., J. Math. Phys. 2011) our results provide a refutation of Connes' embedding conjecture from the theory of von Neumann algebras.

研究动机与目标

• 激励并形式化 MIP* 框架及其在量子交互式证明中的重要性。
• 通过将 Halting 问题归约为 entangled 非本地游戏，证明 MIP*(2,1) 能覆盖 RE。
• 利用压缩、自省（introspection）和低度检验来构建不可判定的 entangled-value 问题。
• 推导 Tsirelson 问题与 Connes 的嵌入猜想的后果。

提出的方法

• 界定并分析量子与经典相关集合 Cqs、Cqa 与 Cqc。
• 为一系列正规形式的非本地游戏引入压缩过程，以跨尺度保持 entangled value。
• 构造一族无限的非本地游戏 G_M,n，使得 val*(G_M,n) 能区分 halting 与 non-halting 的 M。
• 使用自省与量子低度检验来对分布进行鲁棒自测试，并使压缩框架成为可能。
• 迭代应用压缩以获得一个定点游戏 GM，使得 val*(GM)=1 当且仅当 M 停止。
• 证明 entangled value 的不可判定性意味着对 Tsirelson 问题与 Connes 的嵌入猜想的否定答案。

实验结果

研究问题

• RQ1 RE 能否被一个一轮、两个证明者的交互式证明系统（含纠缠证明者）所捕获？
• RQ2 是否存在一个高效的从 Halting 问题归约到决定一个两证明者非本地游戏的 entangled 值的问题？
• RQ3 MIP* = RE 对 Tsirelson 问题和 Connes 的嵌入猜想有什么影响？
• RQ4 压缩/自省框架是否能够克服先前 MIP* 构造中的差距限制？

主要发现

• MIP* 等于 RE，使 MIP* = RE 成为 entangled-prover 互动证明的完全表征。
• 存在从 Halting 问题高效归约到判断一个两人非本地游戏的 entangled 值是否为 1 或至多 1/2 的高效归约。
• 一个显式分离表明量子张量积相关的闭包严格包含于量子对换相关，推翻 Tsirelson 问题。
• 结果通过与 von Neumann 代数的已建立联系，意味着 Connes 的嵌入猜想是错误的。
• 一个同步/ PCC 策略在 halting 情况下证明 val*(GM)=1，为基于压缩的 Halting 证明提供支撑。