[论文解读] Mirabolic Robinson-Schensted-Knuth correspondence

Roman Travkin|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2008

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文引入了一种镜像罗宾逊-施伦克特-康奈特（mirabolic Robinson-Schensted-Knuth, RSK）对应关系，建立了对 GL(V)-轨道在 Fl(V) × Fl(V) × V 中的标记装饰排列与由两个标准杨表和一个分拆组成的三元组之间的双射。该对应关系将这些轨道划分为组合细胞，这些细胞被证明与由一般法向量类型的微局部双边细胞一致。作者进一步猜想，这些细胞与来自旗流形乘积与 V 的权重重构的 Hecke 代数双模中双模 Kazhdan-Lusztig 细胞一致，并提出了在单峰镜像特征层分类中的应用。

ABSTRACT

The set of orbits of $GL(V)$ in $Fl(V) imes Fl(V) imes V$ is finite, and is parametrized by the set of certain decorated permutations in a work of Solomon. We describe a Mirabolic RSK correspondence (bijective) between this set of decorated permutations and the set of triples: a pair of standard Young tableaux, and an extra partition. It gives rise to a partition of the set of orbits into combinatorial cells. We prove that the same partition is given by the type of a general conormal vector to an orbit. We conjecture that the same partition is given by the bimodule Kazhdan-Lusztig cells in the bimodule over the Iwahori-Hecke algebra of $GL(V)$ arising from $Fl(V) imes Fl(V) imes V$. We also give conjectural applications to the classification of unipotent mirabolic character sheaves on $GL(V) imes V$.

研究动机与目标

• 通过一种新的组合对应关系对 Fl(V) × Fl(V) × V 中的 GL(V)-轨道进行分类。
• 在这些轨道与由两个形状分别为 ν 和 ν′ 的标准杨表 T1、T2（满足 |ν| = |ν′| = N）及一个分拆 θ（满足 ν ⊃ θ ⊂ ν′）构成的三元组之间建立双射，推广经典 RSK 算法。
• 证明该对应关系与由一般法向量的幂零类型定义的轨道划分（即微局部细胞）一致。
• 猜想该划分与 Hecke 代数双模 RN 中的双模 Kazhdan-Lusztig 细胞一致。
• 提出在 GL(V) × V 上单峰镜像特征层分类中的应用。

提出的方法

• 将镜像 RSK 对应关系定义为 RBN 中的装饰排列与三元组 (T1, T2, θ) 之间的双射，其中 T1、T2 是形状分别为 ν、ν′ 的标准杨表，满足 |ν| = |ν′| = N，θ 是一个满足 ν ⊃ θ ⊂ ν′ 的分拆。
• 构造余切丛 Z 的闭不可约子簇，以三元组 (ν ⊃ θ ⊂ ν′) 为指标，作为轨道余切丛闭包的像。
• 利用 Iwahori-Hecke 代数 HN 在 Fl(V) × Fl(V) × V 上 GL(V)-等变混合 Tate 复叠的 K-群上的作用，定义双模 RN。
• 通过以 RBN 中轨道为指标的 Kazhdan-Lusztig 基，定义 RN 中的双模 Kazhdan-Lusztig 细胞。
• 通过傅里叶-德利涅变换引入 RBN 上的一个对合 F，证明其保持左、右及双模 Kazhdan-Lusztig 细胞。
• 猜想镜像 RSK 输出 (ν, ν′, θ) 同时分类微局部与双模 KL 细胞，且在渐近意义下，Lusztig 的 Jν 上的双模与通过镜像 RSK 映射同构于矩阵双模。

实验结果

研究问题

• RQ1 镜像 RSK 对应关系是否通过标准杨表三元组与一个分拆，对 Fl(V) × Fl(V) × V 中的 GL(V)-轨道进行分类？
• RQ2 由一般法向量的幂零类型定义的微局部双边细胞是否与镜像 RSK 输出 (ν, ν′, θ) 定义的细胞一致？
• RQ3 RBN 划分为双模 Kazhdan-Lusztig 细胞的划分是否等价于由镜像 RSK 对应关系诱导的划分？
• RQ4 对于对角细胞（ν = ν′）的渐近双模 Jν⊃θ⊂ν 是否可通过镜像 RSK 算法实现为矩阵双模？
• RQ5 GL(V)-等变 perverse 层在 Fl(V) × Fl(V) × V 上的推前 CH(F) 的不可约分量是否对应于由 (ν, θ) 索引的单峰镜像特征层？

主要发现

• 镜像 RSK 对应关系在集合 RBN 与三元组 (T1, T2, θ) 之间提供了双射，其中 T1、T2 是形状分别为 ν、ν′ 的标准杨表，满足 |ν| = |ν′| = N，且 θ 是满足 ν ⊃ θ ⊂ ν′ 的分拆。
• 由一般法向量的幂零类型定义的 RBN 上微局部双边细胞的划分，与镜像 RSK 输出 (ν, ν′, θ) 所诱导的划分完全一致。
• 由傅里叶-德利涅变换诱导的 RBN 上的对合 F 保持左、右及双模 Kazhdan-Lusztig 细胞。
• 双模 KL 细胞在 RN 中的划分被猜想恰好由镜像 RSK 输出 (ν, ν′, θ) 划分，即 ˜w 与 ˜w′ 属于同一细胞当且仅当它们产生相同的 (ν, ν′, θ)。
• 渐近双模 Jν⊃θ⊂ν over Jν 被猜想通过镜像 RSK 映射同构于矩阵双模 MatSt(ν)，其中 t˜w 映射到 eT1,T2，且 (T1, T2) 由 ˜w 构造而成。
• 在单峰镜像 Weil 层的 K-群中，CH(˜H˜w) 的类被猜想为 Fλ,μ 的线性组合，其系数 fλ,μ 在 (ν, θ) ≠ Υ(λ, μ) 的分量上为零。