[论文解读] Mirror symmetry for abelian varieties

Vasily Golyshev, Valery A. Lunts+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 38

一句话总结

本文提出了一种关于复阿贝尔簇与其中复化正锥类构成的代数对的新型代数几何镜像对称定义。通过凝聚层的导出范畴及霍奇与竖直代数群之间的相互作用，建立了交换水平与竖直结构的上同调环之间的典范同构，证明了镜像对在同源意义下唯一确定，且导出等价性蕴含镜像对称相容性。

ABSTRACT

We work out the notion of mirror symmetry for abelian varieties and study its properties. Our construction are based on the correspondence between two $Q$--algebraic groups. One is the Hodge (or special Mumford--Tate) group. The second group $\bar{Spin(A)}$ is defined as follows: the group of autoequivalences of the bounded derived category of coherent sheaves acts on the total cohomology $H(A,Q)$ of an abelian variety $A$ via algebraic correspondences. The group $\bar{Spin(A)}$ is now the Zariski closure of its image in $GL(H(A,Q))$. Our constructions are compatible with the picture of mirror symmetry sketched by Kontsevich, Morrison, and others.

研究动机与目标

• 定义复阿贝尔簇 $ A $ 与其复化正锥类 $ \omega_A $ 构成的代数对 $ (A, \omega_A) $ 的镜像对称。
• 建立镜像对 $ (A, \omega_A) $ 与 $ (B, \omega_B) $ 之间上同调环的典范同构，该同构交换霍奇群与竖直代数群的作用。
• 证明阿贝尔簇的导出等价性蕴含镜像对称相容性，且镜像对在同构意义下仅有有限多个。
• 在 G-构造的阿贝尔簇情形下，通过实子环面上线丛的陈特征显式构造镜像同构。

提出的方法

• 定义复化正锥 $ C_A = C_A^+ \bigsqcup C_A^- \to NS_A(\mathbb{C}) $，其中 $ C_A^+ = NS_A(\mathbb{R}) + iC_A^a $，若 $ \omega_A \in C_A $，则称 $ (A, \omega_A) $ 为代数对。
• 将霍奇群（特殊芒福德-塔特群）定义为保持 $ H^*(A, \mathbb{Q}) $ 上霍奇分解的最小 $ \mathbb{Q} $-代数子群。
• 将‘竖直’群定义为 $ Auteq(D^b(A)) $ 在 $ H^*(A, \mathbb{Z}) $ 上作用的像的扎里斯基闭包，记为 $ \overline{Spin(A)} $，其与霍奇群可交换。
• 构造镜像对 $ (A, \omega_A) $ 与 $ (B, \omega_B) $ 之间上同调群的典范同构 $ \beta: H^*(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^*(B, \mathbb{Z}) $，该同构交换霍奇群与竖直群的作用。
• 在 G-构造的阿贝尔簇情形下，将 $ \beta $ 表示为 $ A \times B $ 中维数为 $ 3n $ 的实子环面上线丛的陈特征，其中 $ n = \dim A $。
• 利用表示论及 $ \mathrm{End}(A) \otimes \mathbb{R} $ 上二次型的正定性，证明 $ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-轨道在复化正锥中的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时代数对 $ (A, \omega_A) $ 允许存在镜像对称对 $ (B, \omega_B) $？
• RQ2 镜像对称与阿贝尔簇的导出等价性之间有何关系？
• RQ3 镜像对称同构 $ \beta $ 在上同调环 $ H^*(A, \mathbb{Z}) $ 上的精确作用为何？其如何交换霍奇与竖直结构？
• RQ4 对于自然类的阿贝尔簇（如通过 G-构造获得的），镜像同构能否显式构造？
• RQ5 $ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-轨道在复化正锥中是否有限？这与镜像对的存在性有何关联？

主要发现

• 对一般阿贝尔簇 $ A $ 及任意 $ \omega_A \in C_A $，代数对 $ (A, \omega_A) $ 均存在镜像对称对 $ (B, \omega_B) $，如定理 9.6.3 所示。
• 若两个代数对 $ (B, \omega_B) $ 与 $ (C, \omega_C) $ 均为同一 $ (A, \omega_A) $ 的镜像对称对，则有 $ D^b(B) \simeq D^b(C) $ 作为三角范畴，表明镜像伙伴的同构类仅有有限多个（定理 9.2.6）。
• 镜像对称同构 $ \beta: H^*(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^*(B, \mathbb{Z}) $ 以符号为单位唯一存在，并交换霍奇群与竖直群的作用，且 $ \beta \otimes \mathbb{Q} $ 交换两种结构（定理 9.3.3）。
• 对椭圆曲线，$ \beta $ 诱导同构 $ H^1(A, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} H^0(B, \mathbb{Z}) \oplus H^2(B, \mathbb{Z}) $ 及其反向，体现上同调次数上的对偶性。
• 对 G-构造的阿贝尔簇，镜像同构 $ \beta $ 显式实现为 $ A \times B $ 中维数为 $ 3n $ 的实子环面上线丛的陈特征，其中 $ n = \dim A $。
• 在 $ NS_A(\mathbb{R}) + iNS_A(\mathbb{R})^+ $ 中，$ \mathrm{U}_{A,\mathbb{Q}}(\mathbb{R}) $-轨道集合是有限的，且这些轨道与该集合的连通分支重合（推论 A.9）。