[论文解读] Mirror symmetry with branes by equivariant Verlinde formulae

Tamás Hausel, Anton Mellit+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文为尼格尔·希钦关于 SL₂ Higgs 模式空间上 U(1,1) Higgs 五分之一与超复结构 Dirac 线丛的偶数次外幂之间镜像对称猜想提供了强有力的计算证据。通过等变 Verlinde 公式，本文在 GL₂ Higgs 模式空间中计算并匹配了镜像五分之一之间半经典同态的等变指标，揭示了一个神秘的函数方程，从而在半经典极限下证实了对偶性。

ABSTRACT

We find an agreement of equivariant indices of semi-classical homomorphisms between pairwise mirror branes in the GL(2) Higgs moduli space on a Riemann surface. On one side we have the components of the Lagrangian brane of U(1,1) Higgs bundles whose mirror was proposed by Nigel Hitchin to be certain even exterior powers of the hyperholomorphic Dirac bundle on the SL(2) Higgs moduli space. The agreement arises from a mysterious functional equation. This gives strong computational evidence for Hitchin's proposal.

研究动机与目标

• 为 SL₂ Higgs 模式空间上 U(1,1) 五分之一与 Λ^{2i}V 之间的希钦镜像对称猜想提供全局计算验证。
• 将相对 Fourier-Mukai 对偶性从希钦映射的通用纤维扩展至奇异的幂零锥，特别是其奇异纤维。
• 通过 Verlinde 公式进行等变指标计算，以在半经典极限下检验镜像对称性。
• 通过匹配五分之一之间同态的指标，解决镜像对应中的歧义。

提出的方法

• 在 GL₂ Higgs 模式空间上使用等变 Verlinde 公式，计算并匹配了五分之一之间半经典同态的等变指标。
• 对 Higgs 场施加 ${\mathbb{T}} = \mathbb{C}^\times$-作用，以形式 $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \mathcal{L}^k) = \sum_{j} (-1)^i \dim(H^i(\mathcal{M}, \mathcal{L}^k)^j) t^{-j}$ 定义等变指标。
• 利用等变 K-理论中的示性类与 Todd 类，在固定点子簇 $F'_i$ 上通过局部化计算指标。
• 依赖于拉格朗日子五分之一 $L_i \subset \mathcal{M}(\mathrm{GL}_2)$ 及其在 $\mathcal{M}(\mathrm{SL}_2)$ 上的镜像 $\Lambda^{2i}\mathbf{V}$ 的结构，其中 $\mathbf{V} = R^1\pi_*\mathbf{E}$。
• 推导出 $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \mathcal{L}_i, \Lambda_j)$ 与 $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \Lambda_i, \mathcal{L}_j)$ 之间的函数方程，表明 $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i, \Lambda_j) = -t^{-1} \chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i \otimes \Lambda_j)$。
• 利用典范丛结构与等变示性类，追踪法丛与行列线丛上的 $\mathbb{T}$-作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L_i$ 与 $\Lambda_j$ 之间的同态的等变指标是否与它们所提议的镜像 $\Lambda_i$ 与 $\mathcal{L}_j$ 之间的指标相匹配？
• RQ2 相对 Fourier-Mukai 对偶性能否从希钦映射的通用纤维扩展至奇异纤维，特别是幂零锥？
• RQ3 在等变指标中是否存在一个支持 $\mathrm{GL}_2$ Higgs 线丛的希钦镜像对称猜想的函数方程？
• RQ4 因子 $t^{-1}$ 与 $t^{g-1}$ 校正项在指标匹配中的作用是什么？它们与典范丛结构有何关联？
• RQ5 $\mathcal{L}_i$ 与 $\Lambda_j$ 的等变指标在 $\mathbb{T}$-作用下如何变换？这对镜像对称意味着什么？

主要发现

• 在 $L_i$ 五分之一与 $\Lambda_j$ 五分之一之间同态的等变指标满足函数方程：$\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i, \Lambda_j) = -t^{-1} \chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i \otimes \Lambda_j)$。
• 通过局部化方法确认了 $L_i$ 与 $\Lambda_j$ 一侧与 $\Lambda_i$ 与 $\mathcal{L}_j$ 另一侧之间的指标匹配，其中 $t^{-1}$ 校正因子源于 $\mathbb{T}$-作用在典范丛上的效应。
• 计算表明，$\mathcal{L}_i$ 的镜像是 $\Lambda_i[-g]$，而 $\Lambda_j$ 的镜像是 $\mathcal{L}_j[-3g+3]$，这与指标公式中的平移一致。
• 指标中的 $t^{g-1}$ 因子是必要的，因为典范丛 $K_{\mathcal{M}(\mathrm{SL}_2)}$ 具有非平凡的等变结构，其权为 $3g-3$，且当 $g$ 为偶数时不存在平方根。
• 所有分量 $L_i$ 与 $\Lambda_j$ 之间的指标一致，为希钦镜像对称猜想提供了强有力的计算证据，尤其是在半经典极限下。
• 支撑指标匹配的函数方程神秘且尚未完全解释，但其存在支持了对偶性在通用纤维之外的成立。