[论文解读] Mirror winding number and helical edge modes in honeycomb lattice with hopping-energy texture

Toshikaze Kariyado, Xiao Hu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用 26

一句话总结

本文引入镜像绕数作为拓扑不变量，用于分类蜂窝晶格中空间调制跃迁能量下的螺旋边缘模式。通过利用手征对称性和镜像对称性，作者解析推导出零能边缘态，这些态在有限动量下演化为稳健的螺旋模式，表明可通过边缘修饰在不依赖本征自旋自由度的情况下稳定拓扑相。

ABSTRACT

We illustrate possible topological phases in honeycomb lattice with textures in electron hopping energy between nearest-neighboring sites and show that they are characterized by the mirror winding number intimately related to the chiral (or sublattice) symmetry. Analytic wave functions of zero-energy edge modes in ribbon geometry are provided, which are classified into even and odd sectors with respect to the mirror operation with the mirror plane perpendicular to the edge, and evolve into the topological helical edge states at finite momenta. Intriguingly our results demonstrate that in order to achieve the topological phase one can decorate the edge in a way adaptive to the bulk hopping texture. This paves a new way to tailoring graphene in the topological point of view.

研究动机与目标

• 识别并分类具有空间调制跃迁积分的蜂窝晶格中的拓扑相。
• 确立镜像绕数作为与具有镜像对称性的系统中手征对称性相关的严格拓扑不变量。
• 为条带几何中的零能边缘态提供解析波函数，并按镜像宇称进行分类。
• 证明通过调节边缘特定的跃迁纹理可稳定拓扑螺旋边缘态。
• 提出一种新的设计原理，用于在不依赖自旋自由度的情况下工程化石墨烯类系统中的拓扑态。

提出的方法

• 在蜂窝晶格上构建具有两种不同跃迁积分 t₀（六边形内）和 t₁（六边形间）的紧束缚哈密顿量。
• 使用手征对称性算符 γ = diag(1, -1)，确保哈密顿量与 γ 反对易，从而实现拓扑分类。
• 将二维系统沿边缘方向约化为有效一维模型，将平行于边缘的动量视为参数。
• 通过积分公式 w = -1/(2π) ∫₀²ᵖⁱ d/dk [arg(det Qₖ)] dk 计算镜像绕数，追踪复平面上 det Qₖ 的相位绕动。
• 根据垂直于边缘的镜像反射，将边缘态分类为偶宇称和奇宇称子空间。
• 通过求解边缘振幅的递推关系，推导出条带几何中零能模式的解析波函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 镜像绕数能否作为具有跃迁能量纹理的蜂窝晶格中螺旋边缘模式的拓扑不变量？
• RQ2 手征对称性和镜像对称性如何共同保护此类系统中零能边缘态的存在？
• RQ3 边缘几何（如分子-锯齿形、部分胡须形、石墨烯-锯齿形）在决定拓扑相中起什么作用？
• RQ4 能否独立调节跃迁纹理和边缘结构以实现拓扑相的工程化？
• RQ5 边缘态的解析波函数如何从零动量演化至有限动量，形成螺旋边缘态？

主要发现

• 镜像绕数是具有手征对称性和镜像对称性时分类螺旋边缘模式的稳健拓扑不变量。
• 当 t₁ > t₀ 时，分子-锯齿形边缘在奇镜像子空间中支持 n₋ = -1 的拓扑相，导致无能隙的螺旋边缘模式。
• 当 t₁ < t₀ 时，部分胡须形边缘在奇子空间中表现出 n₋ = 1，证实存在具有保护边缘态的拓扑相。
• 推导出零能边缘模式的解析波函数，并显示其在体相中呈指数衰减，证实其拓扑保护性。
• 偶宇称子空间中，当 t₀ = 0 时 n₊ = 1，当 t₁ = 0 时 n₊ = 0，且在参数区域内保持稳定。
• 结果表明，通过边缘特异性地修饰跃迁纹理，可实现对石墨烯类系统中拓扑相的调控与稳定。