[论文解读] Mirrors, Functoriality, and Derived Geometry

Yuri I. Manin|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用导出形变理论和$L_\pi$-代数的范畴化方法来研究量子上同调，将量子上同调视为通过Gromov-Witten不变量对上同调环的导出形变。主要贡献在于在扩展的形变空间上引入了$F_\infty$-结构，推广了Frobenius流形，并为镜像对称提供了范畴化框架。

ABSTRACT

In this survey, I suggest to approach the problem of functorial properties of quantum cohomology by drawing lessons from several versions of Mirror duality involving deformation spaces.

研究动机与目标

• 通过将量子上同调嵌入形变理论框架中，解决其范畴性质之谜。
• 研究镜像对称构造（尤其是涉及形变空间的构造）如何展现出丰富的范畴性。
• 通过导出和增强结构（特别是$L_\infty$-代数和$F_\infty$-流形）扩展经典形变理论。
• 通过导出几何工具在量子上同调与Frobenius流形结构之间建立桥梁。
• 为理解稳定曲线模态操作族中的自指性提供一个概念性框架，借助导出形变函子。

提出的方法

• 使用控制$ L_\infty $-代数来形式化形变函子，推广基于DGLA的形变理论。
• 应用扩展形变函子，将量子上同调建模为通过Novikov环$ K_q $对$ H^*(V) $的正式形变。
• 通过编码了零亏格Gromov-Witten不变量的势函数$ \Phi $的三阶导数构造量子乘积。
• 在形式dg流形上引入$ F_\infty $-结构，作为Frobenius流形的导出推广。
• 在$ C_\infty $-代数框架下，通过$ C_\infty $-代数中多括号$ [[\mu_\bullet, \mu_\bullet]] $的上同调类定义$ F_\infty $-恒等式。
• 证明了紧致空间的Hochschild上同调与奇异上同调在其形式dg解析上自然携带$ F_\infty $-结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过形变理论方法系统地理解量子上同调的范畴性质？
• RQ2 $ L_\infty $-代数及其扩展形式在将量子上同调编码为上同调环形变中起到什么作用？
• RQ3 $ F_\infty $-结构如何推广Frobenius流形，并为镜像对称提供导出框架？
• RQ4 模态操作族的稳定曲线在何种意义上是自指的？导出几何如何解决这一问题？
• RQ5 量子上同调、Gromov-Witten不变量与Hochschild上同调形式dg流形上的$ F_\infty $-结构之间的确切关系是什么？

主要发现

• 量子上同调$ H^*_q(V) $被实现为通过势函数$ \Phi $对$ H^*(V) $的正式形变，其三阶导数定义了量子乘积。
• 在导出设定下，量子乘积满足$ F $-恒等式，将Frobenius恒等式推广至$ F_\infty $-结构。
• 与结合代数的Hochschild上同调相关的形式dg流形自然携带$ F_\infty $-结构。
• 紧致拓扑空间奇异上同调的形式dg流形同样是一个$ F_\infty $-流形。
• $ F_\infty $-恒等式通过$ C_\infty $-代数中切层的多括号的上同调类$ [[\mu_\bullet, \mu_\bullet]] $的消失来编码。
• 与$ \circ $-乘积相容的平坦结构意味着$ F $-恒等式，从而在导出设定下建立了平坦性与Frobenius性质之间的深刻联系。