[论文解读] Mixed dispersion nonlinear Schr\"odinger equation in higher dimensions: theoretical analysis and numerical computations

Atanas Stefanov, G. A. Tsolias+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2022

Nonlinear Photonic Systems参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了在二维空间中，具有聚焦双调和算子与非聚焦拉普拉斯算子（各向同性或各向异性）的高维混合色散非线性薛定谔方程的基态解的存在性及其谱稳定性。结果表明，当非线性幂次 p 低于立方时，解是稳定的；当 p 介于立方与五次方之间时，超过某一临界阈值后变得不稳定；当 p 超过某一临界值后，解始终不稳定，且稳定窗口随 p 增大而逐渐缩小。

ABSTRACT

In the present work we provide a characterization of the ground states of a higher-dimensional quadratic-quartic model of the nonlinear Schr{\"o}dinger class with a combination of a focusing biharmonic operator with either an isotropic or an anisotropic defocusing Laplacian operator (at the linear level) and power-law nonlinearity. Examining principally the prototypical example of dimension $d=2$, we find that instability arises beyond a certain threshold coefficient of the Laplacian between the cubic and quintic cases, while all solutions are stable for powers below the cubic. Above the quintic, and up to a critical nonlinearity exponent $p$, there exists a progressively narrowing range of stable frequencies. Finally, above the critical $p$ all solutions are unstable. The picture is rather similar in the anisotropic case, with the difference that even before the cubic case, the numerical computations suggest an interval of unstable frequencies. Our analysis generalizes the relevant observations for arbitrary combinations of Laplacian prefactor $b$ and nonlinearity power $p$.

研究动机与目标

• 表征具有竞争双调和与拉普拉斯色散的高维非线性薛定谔方程的基态。
• 分析这些基态的谱稳定性，作为非线性幂次 p 和拉普拉斯系数 b 的函数。
• 在二维空间中比较各向同性（均匀拉普拉斯）与各向异性（方向性拉普拉斯）色散情形。
• 将理论与数值分析扩展至任意 b 与 p 的组合，尤其关注 d=2 的情形。
• 探讨这些发现对高维系统及高阶色散实验实现的启示。

提出的方法

• 建立各向同性与各向异性模型：在 R^d 中，iu_t + ∆^2 u + b∆u - |u|^{p-1}u = 0 与 iu_t + ∆^2 u + b∂_{x1}^2 u - |u|^{p-1}u = 0。
• 通过驻波假设 u = e^{-iωt} Φ 将问题约化为定常椭圆方程，得到 ∆^2Φ + b∆Φ + ωΦ - |Φ|^{p-1}Φ = 0，以及各向异性情形的类似方程。
• 采用谱稳定性分析，基于线性化系统的特征值问题 J L v = μ v，其中 J 与 L 是基于系统定义的算子。
• 运用严格的理论分析，研究基态的存在性与稳定性，尤其针对 p < 3 和 p > 5 的情形。
• 在 d=2 中开展广泛的数值计算，绘制 p 与 b 变化下的稳定性区域，使用半对数图表示频率与 p 的关系。
• 比较各向同性与各向异性情形，注意到即使在非线性幂次低于立方时，各向异性情形下也存在不稳定的区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有各向同性拉普拉斯色散的高维混合色散NLS方程中，基态的稳定性行为如何？
• RQ2 在各向同性情形下，解的稳定性如何依赖于非线性幂次 p 与拉普拉斯系数 b？
• RQ3 与各向同性情形相比，仅沿 x1 方向的各向异性色散如何改变稳定性格局？
• RQ4 存在一个临界非线性指数 p_c，使得所有解在该值以上均不稳定，该阈值如何随 b 变化？
• RQ5 当 p > 5 时是否存在稳定的频率窗口，且这些窗口如何随 p 增大而缩小？

主要发现

• 对于所有非线性幂次 p < 3，无论拉普拉斯系数 b 取值如何，所有解均呈谱稳定性。
• 当 p 介于立方与五次方之间（3 < p < 5）时，解在拉普拉斯系数 b 超过某一临界阈值后出现不稳定性。
• 当 p > 5 时，存在一个随 p 增大而逐渐缩小的稳定频率范围，稳定窗口随 p 增大而收缩。
• 当非线性指数超过临界值 p_c 后，所有解均不稳定，无论 b 取值如何。
• 在各向异性情形下，数值结果表明即使在 p < 3 时也存在不稳定的频率区间，这一现象在各向同性情形中并不存在。
• 在各向异性模型中，靠近线性极限（ω → 0.25）时表现出可分离的解结构，且在 y 方向具有均匀的节点线。