[论文解读] Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies

Amadeu Delshams, Marina Gonchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究具有对称二次同宿切口的二维可逆映射，证明了存在无限多组分岔级联，导致渐近稳定、不稳定和椭圆周期轨道的产生。通过Melnikov型分析与正规型技术，本文在可逆系统中确立了Newhouse现象，展示了在同宿切口附近多种周期轨道的持久共存。

ABSTRACT

We study dynamics and bifurcations of 2-dimensional reversible maps having a symmetric saddle fixed point with an asymmetric pair of nontransversal homoclinic orbits (a symmetric nontransversal homoclinic figure-8). We consider one-parameter families of reversible maps unfolding the initial homoclinic tangency and prove the existence of infinitely many sequences (cascades) of bifurcations related to the birth of asymptotically stable, unstable and elliptic periodic orbits.

研究动机与目标

• 分析具有对称鞍点不动点和非横截同宿8字形的二维可逆映射的动力学与分岔。
• 研究单参数族可逆映射中对称二次同宿切口的展开。
• 确立稳定、不稳定和椭圆周期轨道诞生的无限多组分岔级联的存在性。
• 通过证明在同宿切口附近存在无限多种不同类型周期轨道的共存，将Newhouse现象扩展至可逆动力系统。
• 通过Melnikov函数，提供时间周期性可逆系统中二次同宿切口发生的显式参数条件。

提出的方法

• 利用Melnikov函数检测可积系统可逆扰动中的同宿切口。
• 应用正规型理论分析对称同宿8字形附近的局部动力学及切口的展开。
• 将同宿切口分岔理论，特别是Gavrilov-Shilnikov级联定理，应用于可逆设置。
• 构造显式可逆系统（例如，扰动的Duffing方程和鱼形方程）的例子，其时间周期性扰动保持可逆性。
• 通过求解Melnikov函数的二重零点推导二次切口的条件，确保二阶导数非零。
• 使用依赖于参数的扰动展开初始同宿切口，并识别出（Newhouse区间）混合动力学占主导的区间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当二维可逆映射中对称二次同宿切口被展开时，会涌现出何种类型的分岔？
• RQ2 Newhouse现象在可逆系统中如何表现，特别是不同稳定性类型的周期轨道共存方面？
• RQ3 在何种条件下，可逆二维映射会表现出二次同宿切口，以及如何通过Melnikov函数检测此类切口？
• RQ4 在具有同宿切口的可逆系统中，能否严格确立稳定、不稳定和椭圆周期轨道诞生的无限级联？
• RQ5 对称性在可逆映射中同宿切口附近混合动力学的形成与持久性中起什么作用？

主要发现

• 在展开对称二次同宿切口的单参数族二维可逆映射中，存在无限多组分岔级联。
• 系统表现出Newhouse现象：在初始切口的任意邻域内，均存在开区域，其中无限多种不同类型周期轨道持久共存。
• 对于ω=3且特定α,β关系的Duffing型系统，在t₀=π/2处发生二次同宿切口，满足M(t₀)=M′(t₀)=0且M′′(t₀)≠0。
• 在鱼形方程例子中，当ω₀=2，ω₁=6，t₀=π/4，且β通过β = [(2⁴−1)sinh(2π)] / [3(6⁴−1)sinh(6π)] α与α成比例时，在t₀=π/4处实现二次切口。
• Melnikov函数分析表明，当一阶与二阶导数在同一点为零且二阶导数非零时，切口为二次。
• 结果证实，在具有对称同宿切口的可逆系统中，混合动力学（包括稳定、不稳定和椭圆周期轨道的产生）是普遍存在的。