[论文解读] Mixed Hodge structures and representations of fundamental groups of algebraic varieties

Louis-Clément Lefèvre|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过 $L_∞$ 代数与混合 Hodge 图，构造了复代数簇的基本群到线性代数群的表示簇的 formal 局部环上的函子性混合 Hodge 结构。关键结果是：当 $X$ 为紧致 Kähler 且 $ ho$ 为极化 Hodge 结构变化的单值表示时，或当 $X$ 为光滑拟射影且 $ ho$ 的像有限时，该结构在基域 $ℝ$ 或 $ℂ$ 上存在，且其零权部分对应于 $ ho$ 在共轭作用下的轨道。

ABSTRACT

Given a complex variety $X$, a linear algebraic group $G$ and a representation $\ ho$ of the fundamental group $\\pi\\_1(X,x)$ into $G$, we develop a framework for constructing a functorial mixed Hodge structure on the formal local ring of the representation variety of $\\pi\\_1(X,x)$ into $G$ at $\ ho$ using mixed Hodgediagrams and methods of $L\\_\\infty$ algebras. We apply it in two geometric situations: either when $X$ is compact K{\\"a}hler and $\ ho$ is the monodromy of a variation of Hodge structure, or when $X$ is smooth quasi-projective and $\ ho$ has finite image.

研究动机与目标

• 在表示 $\rho$ 处的表示簇 $\operatorname{Hom}(\pi_1(X,x),G)$ 的 formal 局部环 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上构造一个函子性混合 Hodge 结构。
• 通过使用 derived deformation theory 的现代工具，统一并推广 Eyssidieux-Simpson（紧致 Kähler 情况）与 Kapovich-Millson（有限像，非紧致情况）的先前构造。
• 提供一个在 $X$、$x$ 与 $\rho$ 上函子性、且与基域 $\mathbf{k}$ 上的混合 Hodge 结构相容的框架。
• 澄清 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 的权过滤，特别是将零权部分识别为 $\rho$ 在共轭作用下的轨道的 formal 局部环。

提出的方法

• 使用 $L_\infty$ 代数与混合 Hodge 图的 bar 构造，建模表示 $\rho$ 的形变函子，利用从 $\varepsilon_x: H^0(L) \to \mathfrak{g}$ 的求值映射的映射锥。
• 将混合 Hodge 复形理论应用于取值于 $\rho$ 关联的平坦 $G$-丛的伴随丛上的微分形式的 DG 李代数 $L$，确保与乘法结构相容。
• 在 $\varepsilon_x$ 的映射锥所关联的 $L_\infty$ 代数上构造一个混合 Hodge 图，从而在 $H^0(\mathscr{C}(L))^*$ 上诱导出一个混合 Hodge 结构，该结构与 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 同构。
• 建立 DG 李代数 $D$（去悬垂的映射锥）与 $E$（商代数）之间的典范拟同构，诱导形变函子的同构，从而将轨道代数识别为零权部分。
• 使用 pro-表示性定理，将 $H^0(\mathscr{C}(D))^*$ 识别为轨道 $\Omega_\rho$ 上的 formal 函数代数，并证明从 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho \to H^0(\mathscr{C}(D))^*$ 的同态的核为定义轨道的理想 $\mathfrak{j}$。
• 证明权过滤对混合 Hodge 结构的态射具有严格相容性，从而证明 $\operatorname{Gr}^W_0(\widehat{\mathcal{O}}_\rho) \cong H^0(\mathscr{C}(D))^*$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\pi_1(X,x)$ 到线性代数群 $G$ 的表示簇的 formal 局部环 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上构造一个函子性混合 Hodge 结构？
• RQ2 Eyssidieux-Simpson（紧致 Kähler 且为单值表示）与 Kapovich-Millson（光滑拟射影且为有限像表示）的构造，能否通过单一框架统一？
• RQ3 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上的权过滤与 $\rho$ 的共轭轨道之间的确切关系为何？
• RQ4 能否以关联的 DG 李代数 $L$ 的上同调群明确描述 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上的混合 Hodge 结构？
• RQ5 在非紧致情形下，能否将 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 的有限型表示作为幂级数代数模一个具有混合 Hodge 结构的理想来恢复？

主要发现

• 当 $X$ 为紧致 Kähler 且 $ ho$ 为极化 Hodge 结构变化的单值表示时，$\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上构造了混合 Hodge 结构。
• 当 $X$ 为光滑拟射影且 $ ho$ 的像有限时，同样在 $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上构造了混合 Hodge 结构，将 Kapovich-Millson 的结果推广为完整的混合 Hodge 结构。
• $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 的零权部分与 $\rho$ 的共轭轨道的 formal 局部环之间存在自然同构，该同构通过映射锥 $D$ 的形变函子实现。
• 该构造在 $X$、$x$ 与 $ ho$ 上是函子性的，且在基域 $\mathbf{k}$（包括 $\mathbb{C}$）上定义，混合 Hodge 结构与代数结构相容。
• 该方法提供了一个统一框架，避免了 Eyssidieux-Simpson 所依赖的解析技术或 Kapovich-Millson 所用的仅阶化结构，转而使用 $L_\infty$ 代数与混合 Hodge 图。
• $\widehat{\mathcal{O}}_\rho$ 上的权过滤对到轨道代数的态射具有严格相容性，确认 $\operatorname{Gr}^W_0(\widehat{\mathcal{O}}_\rho)$ 恰好是轨道 $\Omega_\rho$ 上的 formal 函数代数。