[论文解读] Mixed integer programming for the resolution of GPS carrier phase ambiguities

Peiliang Xu, M. Elizabeth Cannon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

GNSS positioning and interference参考文献 13被引用 24

一句话总结

本文提出了两种混合整数规划方法以解决GPS载波相位模糊度问题：一种是一步非精确方法，利用最小主元高斯消去法进行对角线最小化分解，以改进简单的四舍五入方法；另一种是精确方法，将问题重新表述为0-1线性整数规划。主要贡献在于形式化了用于去相关化的幺模变换，并首次在IUGG1995大会上提出了排序QR MIMO解码器。

ABSTRACT

This arXiv upload is to clarify that the now well-known sorted QR MIMO decoder was first presented in the 1995 IUGG General Assembly. We clearly go much further in the sense that we directly incorporated reduction into this one step, non-exact suboptimal integer solution. Except for these first few lines up to this point, this paper is an unaltered version of the paper presented at the IUGG1995 Assembly in Boulder. Ambiguity resolution of GPS carrier phase observables is crucial in high precision geodetic positioning and navigation applications. It consists of two aspects: estimating the integer ambiguities in the mixed integer observation model and examining whether they are sufficiently accurate to be fixed as known nonrandom integers. We shall discuss the first point in this paper from the point of view of integer programming. A one-step nonexact approach is proposed by employing minimum diagonal pivoting Gaussian decompositions, which may be thought of as an improvement of the simple rounding-off method, since the weights and correlations of the floating-estimated ambiguities are fully taken into account. The second approach is to reformulate the mixed integer least squares problem into the standard 0-1 linear integer programming model, which can then be solved by using, for instance, the practically robust and efficient simplex algorithm for linear integer programming. It is exact, if proper bounds for the ambiguities are given. Theoretical results on decorrelation by unimodular transformation are given in the form of a theorem.

研究动机与目标

• 为解决高精度GPS定位与导航中的关键挑战——整数载波相位模糊度的解析问题。
• 通过整合浮点估计模糊度的完整权重与相关性信息，改进启发式四舍五入方法。
• 通过将问题重新表述为带适当边界条件的0-1线性整数规划，提供理论基础坚实的精确解法。
• 为幺模变换实现模糊度去相关性建立数学基础，扩展Teunissen的研究工作。
• 提出排序QR MIMO解码器作为一种新颖的、非迭代的、一步到位的模糊度解析方法。

提出的方法

• 基于模糊度存在性理论证明，应用幺模整数变换对浮点估计模糊度进行去相关。
• 对变换后的模糊度协方差矩阵采用最小主元高斯消去法，优先处理权重最高且相关性最低的模糊度。
• 提出一种一步非精确方法，直接对变换后的实数值模糊度进行四舍五入，通过主对角线权重选择惩罚错误选择。
• 利用变换矩阵和目标函数，将整数最小二乘问题重新表述为0-1二次整数规划模型。
• 通过引入二元变量替代二次项 $ b_i b_j $，将0-1二次规划线性化，转化为标准0-1线性整数规划模型。
• 使用标准算法求解最终的0-1线性整数规划问题，若提供适当边界条件，可确保解的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一种一步非精确方法，通过考虑模糊度的权重与相关性，能够在GPS模糊度解析中优于简单四舍五入？
• RQ2 幺模变换在多大程度上可实现模糊度的去相关，并提升整数最小二乘估计的准确性？
• RQ3 在适当边界条件下，混合整数最小二乘问题能否被精确重述为0-1线性整数规划问题？
• RQ4 所提出的最小主元高斯消去策略与迭代搜索方法相比，在计算效率和解的质量方面表现如何？
• RQ5 在GPS模糊度解析背景下，是否存在一种去相关幺模变换的理论依据？

主要发现

• 采用最小主元高斯消去法的一步非精确方法，通过完全整合权重与相关性信息，无需迭代即可优于简单四舍五入。
• 理论证明确认了存在一种幺模变换，可实现浮点估计模糊度的去相关，扩展了Teunissen于1994年的研究工作。
• 通过将问题重述为0-1线性整数规划，可在提供适当边界条件下实现模糊度解析问题的精确求解。
• 0-1线性规划模型中的目标函数等价于变换后残差平方和的最小化，常数项被省略。
• 线性化技术成功地用二元变量 $ v_k $ 替代了二次项 $ b_i b_j $，确保问题保持在标准0-1整数规划形式内。
• 本文确立了排序QR MIMO解码器首次在IUGG1995大会上提出，标志着GPS模糊度解析领域的一个奠基性时刻。