[论文解读] Mixed-integer Quadratic Programming is in NP

Alberto Del Pia, Santanu S. Dey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文证明了混合整数二次规划（MIQP）的判定版本属于NP，方法是证明任何具有单个二次不等式约束的可行MIQP实例均存在一个大小为输入复杂度多项式有界的解。该结果确立了MIQP为NP完全问题，统一了经典结果中关于二次规划和整数线性规划属于NP的结论。

ABSTRACT

Mixed-integer quadratic programming is the problem of optimizing a quadratic function over points in a polyhedral set where some of the components are restricted to be integral. In this paper, we prove that the decision version of mixed-integer quadratic programming is in NP, thereby showing that it is NP-complete. This is established by showing that if the decision version of mixed-integer quadratic programming is feasible, then there exists a solution of polynomial size. This result generalizes and unifies classical results that quadratic programming is in NP and integer linear programming is in NP.

研究动机与目标

• 确立混合整数二次规划（MIQP）判定版本属于NP。
• 推广并统一先前关于二次规划和整数线性规划属于NP的结果。
• 证明具有单个二次约束的MIQP可行解具有多项式有界的编码长度。
• 表明MIQP的NP完全性源于可行实例存在多项式大小证书。
• 通过与更一般设定下不可判定或指数大小解的情况对比，阐明结果的紧致性。

提出的方法

• 通过将可行集分解为多面体与锥体部分，分析解的结构。
• 应用归一化超平面与锥体包络分析，利用小复杂度的有理数界来有界可行解的范数。
• 采用多项式时间可计算的解范数上界，适用于多面体与有理锥体交集中的解。
• 应用定理3（来自先前工作）从有界可行区域中提取出复杂度小的解。
• 基于可行锥的极射线方向上二次项与线性项符号的分类讨论，构造出小规模的可行解。
• 应用“F-小复杂度”概念，确保所有推导出的界与中间对象（如范数、系数）在输入规模下均为多项式有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有单个二次不等式约束的可行混合整数二次规划是否都存在一个大小为多项式有界的解？
• RQ2 MIQP的判定版本是否能在多项式时间内验证，从而使其属于NP？
• RQ3 单个二次约束的存在如何影响最小可行解的大小，相较于具有多个或一般二次约束的系统？
• RQ4 输入数据的复杂度与MIQP中最小可行解的编码长度之间有何关系？
• RQ5 MIQP的NP完全性在二次约束数量上是否紧致？当该数量增加时会发生什么？

主要发现

• MIQP的判定版本属于NP，因为任何可行实例至少存在一个其位复杂度被输入复杂度的多项式有界的解。
• 可行MIQP实例存在多项式大小证书，意味着MIQP为NP完全，因为其已被证明为NP难。
• 该结果推广并统一了早期关于二次规划和整数线性规划属于NP的结果。
• 解大小的界是紧致的：具有多个二次不等式或特定Pell型方程的系统可能具有指数大小的解，表明单个二次约束假设的必要性。
• 对于具有单个二次不等式和混合整数变量的系统，任何可行解的范数被有理数有界，且该有理数具有F-小复杂度，从而确保多项式大小证书。
• 通过在可行锥的极射线方向上对方向导数的符号进行分类讨论，构造出复杂度小的可行解，确保编码长度有界。