[论文解读] Mixed interactions of localized waves in the three-component coupled derivative nonlinear Schrödinger equations

Tao Xu, Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文通过广义达布变换（generalized Darboux transformation）构造了三组分耦合导数非线性薛定谔方程中局域波—— rogue 波、呼吸子和孤子的高阶交互解。通过引入自由参数 α 和 β，并利用 Lax 对中的特殊向量解，作者将六类交互解进行分类，识别出四种不同的混合相互作用，涉及三组分中高阶 rogue 波、多呼吸子和多孤子的组合。

ABSTRACT

The Darboux transformation of the three-component coupled derivative nonlinear Schrödinger equations is constructed, based on the special vector solution elaborately generated from the corresponding Lax pair, various interactions of localized waves are derived. Here, we focus on the higher-order interactional solutions among higher-order rogue waves (RWs), multi-soliton and multi-breather. Instead of considering various arrangements among the three components $q_1$, $q_2$ and $q_3$, we define the same combination as the same type solution. Based on our method, these interactional solutions are completely classified into six types among these three components $q_1$, $q_2$ and $q_3$. In these six types interactional solutions, there are four mixed interactions of localized waves in three different components. In particular, the free parameters $α$ and $β$ paly an important role in dynamics structures of the interactional solutions, for example, different nonlinear localized waves merge with each other by increasing the absolute values of $α$ and $β$.

研究动机与目标

• 推导三组分耦合导数非线性薛定谔方程（3c-DNLS）中局域波之间新型高阶交互解。
• 基于三组分中波类型组合对交互解进行分类，而非依赖于特定组分的排列方式。
• 研究自由参数 α 和 β 在塑造混合局域波相互作用动力学结构中的作用。
• 将先前关于两组分系统的成果拓展至三组分情形，揭示在低组分数系统中无法实现的新相互作用模式。

提出的方法

• 利用周期性种子解构造 Lax 对的特殊向量解，并引入自由参数 α 和 β 作为扰动系数。
• 应用达布变换（DT）技术，从特殊向量解生成高阶交互解。
• 对达布变换实施极限过程，推导出包含 rogue 波、呼吸子和孤子的半有理解。
• 通过参数 dj（j=1,2,3）定义背景，其中 dj=0 表示背景消失，dj≠0 表示背景不消失。
• 根据 q₁、q₂ 和 q₃ 中波类型组合将交互解分为六类，其中四类代表混合相互作用。
• 通过参数 sj = mj + nj 控制高阶 rogue 波的结构，该参数决定基本 rogue 波分裂为多个一阶波的机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用达布变换时，三组分耦合导数非线性薛定谔方程中可能涌现出哪些类型的高阶交互解？
• RQ2 自由参数 α 和 β 如何影响解中不同局域波的动力学结构与合并行为？
• RQ3 在 3c-DNLS 系统中，哪些 rogue 波、呼吸子和孤子的组合可以在单个组分或跨组分中共存？
• RQ4 为何某些局域波的混合相互作用仅能在组分数超过三个且 Lax 对大小大于 3×3 的系统中实现？
• RQ5 是否可以通过将相同波类型组合按组分归类的方式，系统性地实现交互解的分类，而无需考虑组分标签？

主要发现

• 在三组分之间识别出四种不同的局域波混合相互作用，涉及高阶 rogue 波与多呼吸子、多振幅变化孤子及多亮孤子的组合。
• 自由参数 α 和 β 在合并不同非线性局域波中起关键作用；其绝对值增大可导致波的合并与结构复杂化。
• 交互解的六类分类基于波类型组合，而非特定组分的排列方式，其中类型 (2)、(3)、(4) 和 (5) 代表混合相互作用。
• 当 sj = mj + nj ≠ 0 时，高阶 rogue 波可分裂为多个一阶 rogue 波，表明可对波的多重性与结构实现有效调控。
• 本研究将 Baronio 的两组分结果推广至三组分情形，揭示了在单组分或两组分系统中无法通过 DT 获得的混合相互作用。
• 研究表明，此类复杂混合相互作用仅存在于组分数超过三个且 Lax 对大于 3×3 的非线性系统中，暗示了 DT 方法的结构性限制。