[论文解读] Mixed Markov-Perfect Equilibria in the Continuous-Time War of Attrition

Jean‐Paul Décamps, Fabien Gensbittel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2024

Game Theory and Applications被引用 1

一句话总结

本文在连续时间消耗战博弈中，针对线性扩散过程，建立了混合策略下马尔可夫完美均衡的存在性。通过将马尔可夫随机停止时间的空间拓扑化为紧致绝对 retract，作者应用 Eilenberg-Montgomery 不动点定理证明了存在性，表明当纯策略均衡无法存在时，混合策略是必要的。

ABSTRACT

We prove the existence of a Markov-perfect equilibrium in randomized stopping times for a model of the war of attrition in which the underlying state variable follows a homogenous linear diffusion. The proof uses the fact that the space of Markovian randomized stopping times can be topologized as a compact absolute retract, which in turn enables us to use a powerful fixed-point theorem by Eilenberg and Montgomery. We illustrate our results with an example of a war of attrition that admits a mixed-strategy Markov-perfect equilibrium but no pure-strategy Markov-perfect equilibrium.

研究动机与目标

• 在具有线性扩散过程的连续时间停止博弈中，建立马尔可夫完美均衡的存在性。
• 通过扩展到混合策略，解决在一般条件下纯策略马尔可夫完美均衡失效的问题。
• 为随机博弈中马尔可夫随机停止时间的分析建立一个拓扑框架。
• 证明马尔可夫随机停止时间的空间是一个紧致绝对 retract，从而支持不动点论证。
• 证明在某些情况下，当纯策略无法产生均衡时，混合策略是必要的。

提出的方法

• 使用源自泛函收敛和爆炸集的拓扑，对马尔可夫随机停止时间的空间进行拓扑化。
• 通过一对 (µ, S) 表示每个马尔可夫随机停止时间，其中 S 是一个闭停止集，µ 是 I\S 上的局部有限强度测度。
• 将此类策略的空间与 I 上的非负正则博雷尔测度集 M(I) 识别，可能为非局部有限。
• 通过在穷竭集上对角提取和弱收敛构造收敛子序列，证明 M(I) 是紧致绝对 retract。
• 在 M(I) 上定义的对应关系上应用 Eilenberg-Montgomery 不动点定理，利用其紧致性和凸性性质。
• 通过局部时间与强度测度的积分表示条件生存函数，以刻画均衡策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有线性扩散的连续时间消耗战博弈中，混合策略下的马尔可夫完美均衡是否存在？
• RQ2 在何种条件下，此类博弈中的纯策略马尔可夫完美均衡会失效？
• RQ3 马尔可夫随机停止时间的空间能否以一种支持不动点论证的方式进行拓扑化？
• RQ4 在所提出的拓扑下，马尔可夫随机停止时间的集合是否为紧致绝对 retract？
• RQ5 混合策略如何解决某些消耗战模型中纯策略马尔可夫完美均衡不存在的问题？

主要发现

• 在给定假设下，任何线性布朗运动消耗战（lBwa）中均存在混合策略的马尔可夫完美均衡。
• 马尔可夫随机停止时间的空间可被拓扑化为紧致绝对 retract，从而支持不动点定理的应用。
• 在未附加折扣收益的超鞅条件等额外假设下，纯策略马尔可夫完美均衡的存在性无法保证。
• 提供了一个反例，表明即使纯纳什均衡存在，纯策略马尔可夫完美均衡也可能不存在。
• M(I) 上的拓扑确保测度收敛对应于通过局部时间和强度测度的生存函数收敛。
• 成功地将 Eilenberg-Montgomery 不动点定理应用于 M(I) 上的对应关系，从而证明了均衡的存在性。