[论文解读] Mixed-norm $L_p$-estimates for non-stationary Stokes systems with singular VMO coefficients and applications

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文在空间中具有消失平均振荡（VMO）且满足小平均振荡条件的奇异系数下，建立了非定常Stokes系统解的混合-norm $L_p$-估计。关键贡献是为Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解提出了一项新的 $\mathcal{C}$-正则性准则，通过利用在混合范数Lebesgue空间中对梯度和二阶导数范数所推导出的估计，将Serrin的正则性准则扩展至临界情形。

ABSTRACT

We prove the mixed-norm Sobolev estimates for solutions to both divergence and non-divergence form time-dependent Stokes systems with unbounded measurable coefficients having small mean oscillations with respect to the spatial variable in small cylinders. As a special case, our results imply Caccioppoli's type estimates for the Stokes systems with variable coefficients. A new $ε$-regularity criterion for Leray-Hopf weak solutions of Navier-Stokes equations is also obtained as a consequence of our regularity results, which in turn implies some borderline cases of the well-known Serrin's regularity criterion.

研究动机与目标

• 在系数可测、奇异且在空间中具有小平均振荡的条件下，建立时间依赖Stokes系统弱解的混合-norm Sobolev估计。
• 将正则性结果扩展至非散度形式Stokes系统，重点研究混合-norm $L_{s,q}$ 空间中的二阶空间导数。
• 利用 $L_p$-估计，为Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解推导出新的 $\mathcal{C}$-正则性准则。
• 通过分析混合范数Lebesgue空间中的可积性条件，实现对Serrin正则性准则的临界边界扩展。
• 分析具有消失平均振荡（VMO）的奇异系数在非定常流体系统解正则性中的作用。

提出的方法

• 使用混合范数Lebesgue空间 $L_{s,q}(Q)$ 分析抛物柱体 $Q_{\rho}(z_0)$ 中的解，结合时间与空间的可积性。
• 应用具有小平均振荡 $\delta$ 和指数 $\alpha_0 \geq 1$ 的VMO条件，以控制空间中系数的变异性。
• 通过序列 $s_k$ 和 $r_k$ 的递归迭代方案，提升梯度的可积性并改善其可 summability 性质。
• 应用Calderón–Zygmund估计于Morrey空间，以控制 $Dd_{ij}$ 的 $L_{s,\alpha}$-范数，并将其与解的范数联系起来。
• 利用Sobolev–Poincaré不等式与Hölder不等式，推导出 $d_{ij}$ 振荡的估计，其以解及其导数表示。
• 通过在小抛物柱体中对线性化Navier-Stokes系统迭代应用主要的 $L_p$-估计，建立新的 $\mathcal{C}$-正则性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有奇异、VMO-系数的非定常Stokes系统弱解的梯度建立混合-norm $L_p$-估计？
• RQ2 当系数矩阵具有奇异反对称部分 $d_{ij}$ 和具有小平均振荡的对称部分 $b_{ij}$ 时，解的正则性特性如何变化？
• RQ3 在多大程度上可利用Stokes系统的 $L_p$-估计，为Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解推导出新的正则性准则？
• RQ4 能否通过混合-norm估计，将 $\mathcal{C}$-正则性准则扩展至Serrin准则的临界情形？
• RQ5 参数 $\alpha_0$ 在VMO条件中对实现解的更高可积性与正则性起到何种作用？

主要发现

• 本文证明了在系数矩阵对称部分满足VMO条件时，发散形式Stokes系统（1.1）弱解的梯度 $Du$ 的混合-norm $L_{s,q}$-估计。
• 对于非散度形式系统（1.4），作者在相同的VMO假设下，建立了二阶空间导数 $D_{ij}u$ 的 $L_{s,q}$-估计。
• 推导出一项新的 $\mathcal{C}$-正则性准则：若速度场 $u$ 在小抛物柱体中的 $L_{s_k}$-范数足够小，则 $u$ 为Hölder连续，从而光滑。
• $\mathcal{C}$-正则性准则意味着对Serrin正则性准则的临界边界扩展，其在可积性指数 $s$ 趋近临界值 $d+2$ 时仍成立。
• 通过序列 $s_k$ 和 $r_k$ 对主要 $L_p$-估计进行迭代应用，实现了可积性的提升，最终得到 $\nabla u$ 的 $L_{s_{k_0}}$-有界性，其中 $s_{k_0}$ 满足 $\frac{d}{s_{k_0}} + \frac{2}{s_{k_0}} < 1$。
• 采用Morrey空间框架控制反对称部分 $d_{ij}$ 的振荡，由此得到的估计使得主定理可应用于Navier-Stokes系统。